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ihsadams

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[求助] 关于矩阵1范的问题

请教大家一个问题： $||AA^T||_1$ 和 $||A^TA||_1$ 有什么联系吗？在正则化的时候，两者的最小化 $\min||AA^T||_1$ 和 $\min||A^TA||_1$ 是否等价或者有没有什么联系？ $A^T$ 是A的转置，A不一定是方阵，A的所有元素非负。谢谢大家！

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【转帖】理解矩阵已经有51人回复

1楼 2014-07-24 11:32:57

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A^T=A时，两者的最小化是等价关系: det(AA^T)=det(A^TA)

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2楼2014-07-24 15:11:44

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ihsadams

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忘了说，这里的1范是m1范，也就是矩阵所有元素的绝对值的和，不是向量诱导出的列和范数

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3楼2014-07-28 16:54:59

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hank612

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3楼: Originally posted by ihsadams at 2014-07-28 16:54:59
忘了说，这里的1范是m1范，也就是矩阵所有元素的绝对值的和，不是向量诱导出的列和范数

应该没什么关系。
当矩阵元素均非负时，绝对值就不用考虑了，因此这两个范数分别是
$\sum_{i,j,k=1}^n a_{ik}{a_jk}, \mathrm{and } \sum_{i,j,k=1}^n a_{ki}a_{kj}$

一般的结果是: AA^T, A^TA 有相同的非零特征值（重数也相等）。

举个例子吧，设A=(1,2), 那么AA^T=5, A^TA=(1 2; 2 4),所以两个范数相差甚远。

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We_must_know. We_will_know.

4楼2014-08-04 07:43:10

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ihsadams

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引用回帖:

4楼: Originally posted by hank612 at 2014-08-04 07:43:10
应该没什么关系。
当矩阵元素均非负时，绝对值就不用考虑了，因此这两个范数分别是
\sum_{i,j,k=1}^n a_{ik}{a_jk}, \mathrm{and } \sum_{i,j,k=1}^n a_{ki}a_{kj}

一般的结果是: AA^T, A^TA 有相同的非零特 ...

谢谢你！

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5楼2014-08-11 14:33:43

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