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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

[求助] 咨询一实变函数初等题目 已有2人参与

请大侠出手:
设f(x)是【a,b】上连续函数,D是【a,b】上可数集,对集合【a,b】/D上任意点x(即非D内的点),存在一个c,使得
f(y)>f(x) ,  x < y <x+c.
证明
f(x)在【a,b】上单调增加。
谢谢了
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与,应助指数 +1
math2000: 金币+20, ★★★★★最佳答案, 非常感谢!!!祝好 2014-07-06 16:05:06
咨询一实变函数初等题目
2楼2014-07-05 23:38:05
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)

建议入一本《实变函数习题精选》(徐森林 等 编,清华大学出版社,2011年),常见习题或者相似题目都有解答。
3楼2014-07-05 23:42:20
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
可以考虑应用Heine-Borel有限覆盖定理证明。
事实上,取



则构成[a,b]的一个开覆盖(其中是空集)
由Heine-Borel有限覆盖定理知道存在一个有限子覆盖,由此根据开覆盖的构造立即可以得出函数f(x)在[a,b]上是增函数。

青葱岁月圣诞夜,浪漫歌舞迎新年。
4楼2014-07-06 05:49:37
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)

引用回帖:
2楼: Originally posted by Pchief at 2014-07-05 23:38:05

(1) (2) 两式中的 应为   之误。
5楼2014-07-06 07:25:02
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