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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 线性空间问题
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cuixiaofei

金虫 (小有名气)

[求助] 线性空间问题 已有6人参与

线性空间V中的原像经过线性变换后的像空间，为什么还在线性空间V里？
书上原话:由于σ(0向量)＝0向量∈σV,所以σV是V的非空子集。怎么理解？

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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学习物理与数学，奇妙发现世界~~~~~
1楼 2014-05-18 20:31:27
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

往事尘

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
cuixiaofei: 金币+5, ★有帮助 2014-05-24 17:52:59
线性变换指v到v(自身)上的线性映射，由于零向量变换后还是零向量(对(0+0)变换可证)所以变换的像空间非空。

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淡写心愿
2楼2014-05-19 09:04:32
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mathstudy

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
cuixiaofei: 金币+5, ★★★很有帮助 2014-05-24 17:53:13
http://baike.baidu.com/view/325734.htm
参见：线性代数研究的一个对象，即向量空间到自身的保运算的映射。例如，对任意线性空间V，位似是V上的线性变换，平移则不是V上的线性变换。对线性变换的讨论可借助矩阵实现
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4楼2014-05-20 08:49:27
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
cuixiaofei: 金币+5, ★★★很有帮助 2014-05-24 17:54:53
线性变换T可以是V到V自身的映射，也可以是V到其他线性空间W的映射，这要根据上下文看其定义。
通常V到V自身的线性变换，简称为到V上的线性变换。
不管T是那个线性空间到那个线性空间的线性变换，都将原像空间的零向量O映射到像空间的零向量O‘，
当T是到V上的线性变换时，这两个零向量是同一个元素，当T是V到另一个线性空间的线性变换时，原像中的零向量O和像空间中的零向量O’不是同一个元素
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5楼2014-05-20 20:45:34
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沐浴未来

木虫 (著名写手)

Hope

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
cuixiaofei: 金币+5, ★有帮助, 呵呵谢谢 2014-05-24 17:53:40
这种数学问题还是方面请教老师为好啊  涉及很多字符  都不好说  (^_^)

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未来，所以，存在
6楼2014-05-20 21:26:03
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wgdxidname

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
cuixiaofei: 金币+5, ★有帮助 2014-05-24 17:54:06
线性变化事实上就是线性组合， 把线性空间的向量进行线性组合之后当然还在原来空间里面。
是对线性空间v进行的线性变换之后得到零向量的那些向量。可以证明这样的向量满足线性空间的要求，所以这样的向量构成一个子空间。并且可以找到至少一个向量 就是零向量 本身是属于这个空间的，所以是非空子空间。
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四大皆空
7楼2014-05-20 22:01:25
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elastic

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
cuixiaofei: 金币+5, ★有帮助 2014-05-24 17:54:27
首先线性空间是满足加法、数乘封闭性的非空集合；线性变换是对线性空间中的元素进行变换，从几何角度理解，线性变换即为对以客观存在的空间矢量通过不同的坐标系进行观察，两观察结果的坐标分量关系就是通过线性变换矩阵连接的。
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衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴
8楼2014-05-20 22:47:56
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)
引用回帖:
9楼: Originally posted by cuixiaofei at 2014-05-22 17:36:54
可是书上的结论就是说它变换后还在原像里。。。
...

你要看上下文啊，楼主。
那你所说的映射肯定是V到自身V上的映射 。
我已经说得很清楚了，线性变换可以是V到V上的线性变换，也可以是V到另一个线性空间W的映射。
很简单的例子：
如果A是n*n的方阵，则线性映射：T：x-->Tx=Ax就是R^n到R^n自身的线性映射
如果A是m*n的矩阵，则线性映射：T：x-->Tx=Ax就是R^n到R^m的线性映射
不管是不是到自身的线性映射，都将原像空间的零向量映射到像空间的零向量
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10楼2014-05-22 20:58:28
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普通回帖

cuixiaofei

金虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by 往事尘 at 2014-05-19 09:04:32
线性变换指v到v(自身)上的线性映射，由于零向量变换后还是零向量(对(0+0)变换可证)所以变换的像空间非空。

线性变换指v到v(自身)上的线性映射变成子集，这是个结论，这个性质可以证明吗？主要书上的证明看不懂

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学习物理与数学，奇妙发现世界~~~~~
3楼2014-05-20 07:36:05
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cuixiaofei

金虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by math2000 at 2014-05-20 20:45:34
线性变换T可以是V到V自身的映射，也可以是V到其他线性空间W的映射，这要根据上下文看其定义。
通常V到V自身的线性变换，简称为到V上的线性变换。
不管T是那个线性空间到那个线性空间的线性变换，都将原像空间的零 ...

可是书上的结论就是说它变换后还在原像里。。。

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学习物理与数学，奇妙发现世界~~~~~
9楼2014-05-22 17:36:54
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