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cuixiaofei

金虫 (小有名气)

[求助] 线性空间问题 已有6人参与

线性空间V中的原像经过线性变换后的像空间,为什么还在线性空间V里?
书上原话:由于σ(0向量)=0向量∈σV,所以σV是V的非空子集。怎么理解?

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往事尘

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与,应助指数 +1
cuixiaofei: 金币+5, 有帮助 2014-05-24 17:52:59
线性变换指v到v(自身)上的线性映射,由于零向量变换后还是零向量(对(0+0)变换可证)所以变换的像空间非空。

[ 发自小木虫客户端 ]
淡写心愿
2楼2014-05-19 09:04:32
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mathstudy

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与,应助指数 +1
cuixiaofei: 金币+5, ★★★很有帮助 2014-05-24 17:53:13
http://baike.baidu.com/view/325734.htm
参见:线性代数研究的一个对象,即向量空间到自身的保运算的映射。例如,对任意线性空间V,位似是V上的线性变换,平移则不是V上的线性变换。对线性变换的讨论可借助矩阵实现
4楼2014-05-20 08:49:27
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
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cuixiaofei: 金币+5, ★★★很有帮助 2014-05-24 17:54:53
线性变换T可以是V到V自身的映射,也可以是V到其他线性空间W的映射,这要根据上下文看其定义。
通常V到V自身的线性变换,简称为到V上的线性变换。
不管T是那个线性空间到那个线性空间的线性变换,都将原像空间的零向量O映射到像空间的零向量O‘,
当T是到V上的线性变换时,这两个零向量是同一个元素,当T是V到另一个线性空间的线性变换时,原像中的零向量O和像空间中的零向量O’不是同一个元素
5楼2014-05-20 20:45:34
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沐浴未来

木虫 (著名写手)

Hope

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
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cuixiaofei: 金币+5, 有帮助, 呵呵谢谢 2014-05-24 17:53:40
这种数学问题还是方面请教老师为好啊  涉及很多字符  都不好说  (^_^)

[ 发自小木虫客户端 ]
未来,所以,存在
6楼2014-05-20 21:26:03
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wgdxidname

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
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cuixiaofei: 金币+5, 有帮助 2014-05-24 17:54:06
线性变化事实上就是线性组合, 把线性空间的向量进行线性组合之后当然还在原来空间里面。
是对线性空间v进行的线性变换之后得到零向量的那些向量。可以证明这样的向量满足线性空间的要求,所以这样的向量构成一个子空间。并且可以找到至少一个向量 就是零向量 本身是属于这个空间的,所以是非空子空间。
四大皆空
7楼2014-05-20 22:01:25
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elastic

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
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cuixiaofei: 金币+5, 有帮助 2014-05-24 17:54:27
首先线性空间是满足加法、数乘封闭性的非空集合;线性变换是对线性空间中的元素进行变换,从几何角度理解,线性变换即为对以客观存在的空间矢量通过不同的坐标系进行观察,两观察结果的坐标分量关系就是通过线性变换矩阵连接的。
衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴
8楼2014-05-20 22:47:56
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

引用回帖:
9楼: Originally posted by cuixiaofei at 2014-05-22 17:36:54
可是书上的结论就是说它变换后还在原像里。。。
...

你要看上下文啊,楼主。
那你所说的映射肯定是V到自身V上的映射 。
我已经说得很清楚了,线性变换可以是V到V上的线性变换,也可以是V到另一个线性空间W的映射。
很简单的例子:
如果A是n*n的方阵,则线性映射:T:x-->Tx=Ax就是R^n到R^n自身的线性映射
如果A是m*n的矩阵,则线性映射:T:x-->Tx=Ax就是R^n到R^m的线性映射
不管是不是到自身的线性映射,都将原像空间的零向量映射到像空间的零向量
10楼2014-05-22 20:58:28
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普通回帖

cuixiaofei

金虫 (小有名气)

引用回帖:
2楼: Originally posted by 往事尘 at 2014-05-19 09:04:32
线性变换指v到v(自身)上的线性映射,由于零向量变换后还是零向量(对(0+0)变换可证)所以变换的像空间非空。

线性变换指v到v(自身)上的线性映射变成子集,这是个结论,这个性质可以证明吗?主要书上的证明看不懂

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学习物理与数学,奇妙发现世界~~~~~
3楼2014-05-20 07:36:05
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cuixiaofei

金虫 (小有名气)

引用回帖:
5楼: Originally posted by math2000 at 2014-05-20 20:45:34
线性变换T可以是V到V自身的映射,也可以是V到其他线性空间W的映射,这要根据上下文看其定义。
通常V到V自身的线性变换,简称为到V上的线性变换。
不管T是那个线性空间到那个线性空间的线性变换,都将原像空间的零 ...

可是书上的结论就是说它变换后还在原像里。。。

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9楼2014-05-22 17:36:54
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