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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】直线在几何学和拓扑学上有何不同？
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飞的猪

铁杆木虫 (文坛精英)

[交流] 【求助】直线在几何学和拓扑学上有何不同？

数学版块一向是藏龙卧虎，请教一个问题，呵呵~
几何学和拓扑学上的直线有什么区别？
另外，线型和直线型的概念是不是也有所差别呢？
谢谢！
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1楼 2010-12-26 10:37:21
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小木虫:)

荣誉版主 (著名写手)
据说拓扑学就是几何学
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2楼2010-12-27 06:56:56
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dqmath

铜虫 (正式写手)
飞的猪(金币+2):谢谢您的回复 2010-12-27 11:24:52
在 线性空间中可以谈论直线  而拓扑空间中 如果没有线性结构 则不能定义直线。 拓扑是 刻画临近结构的数学。  当然你这里直的是线性拓扑空间。  个人认为你应该注意拓扑和一般线性空间的区别。
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3楼2010-12-27 11:20:28
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飞的猪

铁杆木虫 (文坛精英)
引用回帖:
Originally posted by dqmath at 2010-12-27 11:20:28:
在 线性空间中可以谈论直线  而拓扑空间中 如果没有线性结构 则不能定义直线。 拓扑是 刻画临近结构的数学。  当然你这里直的是线性拓扑空间。  个人认为你应该注意拓扑和一般线性空间的区别。

而拓扑空间中 如果没有线性结构 则不能定义直线。 拓扑是 刻画临近结构的数学。???看不懂，能说的具体点吗？呵呵我不是学数学的，谢谢啊~~~
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4楼2010-12-27 11:24:38
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dqmath

铜虫 (正式写手)
大学学到线性代数==其实==有限维线性空间的几何。你知道上面有线性空间的定义。那就是线性结构。什么拓扑，拓扑就是刻画那些点离你近，哪些点离你远的结构，有了拓扑可以引入很多分析的结构，比如极限。。。。。
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5楼2010-12-27 11:30:58
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飞的猪

铁杆木虫 (文坛精英)
引用回帖:
Originally posted by dqmath at 2010-12-27 11:30:58:
大学学到线性代数==其实==有限维线性空间的几何。你知道上面有线性空间的定义。那就是线性结构。什么拓扑，拓扑就是刻画那些点离你近，哪些点离你远的结构，有了拓扑可以引入很多分析的结构，比如极限。。。。。

说到了线性代数有点明白了，拓扑学上的线性可以二维或三维空间上的，空间上的一条线能用某个数组表示出来，是不是就是拓扑学上的线性呢？
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6楼2010-12-27 11:35:10
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nest代数

银虫 (正式写手)
飞的猪(金币+2):谢谢您的帮助~~~ 2010-12-27 12:27:26
一个是代数结构一个是拓扑结构，这是著名的法国布尔巴基学派划分的，所以在纯粹的拓扑结构上是不能谈直线这个概念的。
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7楼2010-12-27 12:12:57
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飞的猪

铁杆木虫 (文坛精英)
引用回帖:
Originally posted by nest代数 at 2010-12-27 12:12:57:
一个是代数结构一个是拓扑结构，这是著名的法国布尔巴基学派划分的，所以在纯粹的拓扑结构上是不能谈直线这个概念的。

在纯粹的拓扑结构上的线性是什么概念呢？
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8楼2010-12-27 12:27:08
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nest代数

银虫 (正式写手)
在线性空间上我们可以加入拓扑结构从而构成拓扑向量空间（或称拓扑线性空间）。但是一般不会给纯粹的拓扑结构上加入线性结构。当然如果非要这么做，我想也不是不可以，只是不知这样加入后两者的兼容性如何。
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9楼2010-12-27 22:40:04
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hebtukj

金虫 (小有名气)
简单点说，我们印象中的直线存在于平面，立体这样的欧式空间，里面的拓扑非常清楚，是由度量也就是点点的距离决定的。有了这度量也就可以定义开集，闭集这些点集拓扑学中的基本概念，如果在一般的拓扑空间上讲直线，就像楼上讲的首先这个空间要是线性空间，然后可以把点换成向量，一样可以考虑直线曲线，不过这时的拓扑或度量就要更一般了。
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10楼2010-12-29 10:53:41
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chlry

木虫 (正式写手)
在拓扑空间里面，如果没有度量结构，和直线同胚的曲线本质上都是一致的，都是一维流形.
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11楼2010-12-29 14:59:59
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jfili

金虫 (正式写手)
直线的定义需要以下几个东西：
1、点。即集合中的元素
2、连续。即要有拓扑结构，可以定义两点之间的连线
3、度量。即点与点的距离
4、微分结构。即可定义曲线的长度。

线段定义为：连接两点的所有曲线中长度最短的那条

几何（欧氏几何或非欧几何）有自然的上述概念，所以可以定义直线；对于一般的线性空间或拓扑空间，因为没有上述结构，所以没有直线的概念
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12楼2010-12-29 16:38:20
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userhung

禁虫 (文学泰斗)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
几何学是研究空间关系的数学分支，有时简称为几何。几何这个词最早来自于希腊语“γεωμετρία”，由“γέα”（土地）和“μετρε ĭν”（测量）两个词合成而来，指土地的测量，即测地术。后来拉丁语化为“geometria”。

拓扑学是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊语Τοπολογ的音译。Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。拓扑学主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合)；现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。

前者是空间关系，后者是连续现象。

线型和直线型也是有差别的，从字面上来说，线型就是指一条线的形状，但在这里并没有强调是直的还是弯的。而直线型是指其不仅仅是一条线的形状，而且必须是直的。
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13楼2013-03-16 20:26:21
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西门出海

金虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
直线是一个距离空间！距离空间讲同构，拓扑空间讲同陪！拓扑只是定义了开集，然后用开集定义其他的东西！

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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14楼2013-03-16 21:07:46
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leedobb

金虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
简单地说，直线这个概念必然得至少用到2维空间这个概念，当然也用到了角度和长度的概念。不然就没有直线这个概念。直线必须得内嵌于2维空间才有意思。
而拓扑学里，一维的东西可独立存在这里可以不定义长度不定义角度，即没有度规这些东西，另外也不必内嵌于高维空间去讨论。
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15楼2013-03-17 00:55:25
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