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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 定义在紧集上的连续实值函数有界且有最大值和最小值
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wc596520206

金虫 (正式写手)

[交流] 定义在紧集上的连续实值函数有界且有最大值和最小值 已有7人参与

如题

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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1楼 2014-03-08 17:00:39
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

laosam280

禁虫 (正式写手)
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4楼2014-03-09 00:52:36
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小黑妞111

金虫 (著名写手)
紧集具有以下性质：
1.有限维空间中，点集是紧集的充分必要条件是它为有界闭集(无限维空间的有界闭集不一定是紧集）。
2.紧集在连续函数下的像仍是紧集。
3.豪斯多夫空间的紧子集是闭集。
4.实数空间的非空紧子集有最大元素和最小元素。
5.Heine-Borel定理:在Rn内，一个集合是紧集当且仅当它是闭集并且有界。
6.定义在紧集上的连续实值函数有界且有最大值和最小值。
7.定义在紧集上的连续实值函数一致连续。
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何苦为难自己呢
8楼2014-03-09 20:16:26
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hubeizk

银虫 (小有名气)
★
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可以证明紧集在连续函数映射下的像也是紧集，又值域是属于一维空间中的，有限维空间中的紧集即是有界闭集，所以定义在紧集上的连续实值函数的像是一维空间中的有界闭集，从而就可推出有最大最小值
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6楼2014-03-09 12:42:07
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普通回帖

laosam280

禁虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
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2楼2014-03-08 22:00:37
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wc596520206

金虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by laosam280 at 2014-03-08 22:00:37
这是肯定的，因为紧集是有界闭集，加上函数连续，所以函数也会有界，从而到达最值。

为什么连续就能推出有界

[ 发自小木虫客户端 ]
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3楼2014-03-09 00:12:21
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hubeizk

银虫 (小有名气)
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引用回帖:
4楼: Originally posted by laosam280 at 2014-03-09 00:52:36
不是因为连续就有界，而是因为是紧集。紧集推出有界，然后连续函数将开集（闭集）映射到开集（闭集）。
我猜想你是想说类似于ln(x)在上的情形，显然是闭集，ln(x)是连续函数。但是在实函数的讨论中，
一般我们避 ...

有一点小错误，连续函数并不一定将开集映成开集，连续函数是说开集的原像是开集
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5楼2014-03-09 12:37:39
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leezhangyi

木虫 (著名写手)

校长
引用回帖:
6楼: Originally posted by hubeizk at 2014-03-09 12:42:07
可以证明紧集在连续函数映射下的像也是紧集，又值域是属于一维空间中的，有限维空间中的紧集即是有界闭集，所以定义在紧集上的连续实值函数的像是一维空间中的有界闭集，从而就可推出有最大最小值

正解！
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面向大海，春暖花开！
7楼2014-03-09 19:18:50
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laosam280

禁虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
本帖内容被屏蔽
9楼2014-03-09 20:40:08
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phobeDD

铜虫 (小有名气)
★
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紧集是compact的意思吗~~~是的话，我试试，因为我在国外的大学，所以只能用英文给你证，中文术语不懂啊

suppos （S，p) is compact
according to Borel-Lebsgue's theorem, S is sequentially compact
that is, every sequence in S has a convergent subsequence that converges to point in S
for any convergent sequence (Xn) in S, (Xn) has a convergent subsequence (Xk) that converges to point in S
Claim (Xn) and (Xk) converge to the same point(这个你自己证明)
every convergent sequence converges to point in S
S is closed

Since S is closed and S is subset of R, it has maximum and minimum
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10楼2014-03-14 10:16:05
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