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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 计算模拟区 » 程序语言 » MATLAB/Mathematica » matlab求解正交矩阵。
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luzongxing

银虫 (小有名气)

[求助] matlab求解正交矩阵。 已有1人参与

1，我们求解变换矩阵的时候得到一个AX=b的矩阵，
现在如何通过matlab得到3*3的旋转矩阵R比较精确地解，一下是我从网上查找的一些常用的解法。
%一是用伪逆法求解
% X=pinv(A)*b

% % 二是用左除法求解，
X=A\b

% %  三是用最小二乘法求解,
% X=lsqnonneg(A,b)

%四LU分解法
% [L,U]=lu (A);
% X=U\(L\b)

2.求得的矩阵R，理论上R应该是一个标准的单位正交矩阵，如果给点的A和B的对应关系不是那么精确，可能求出来的R跟正交矩阵有点偏差。
R*R'=[0.9985 -0.0085 0.0013;
           0.0045 1.0032  -0.0018;
           0.0032 0.0063  1.0024]

那么如何修正这个旋转矩阵，让R*R'的约接近于单位正交矩阵。
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1楼 2013-12-26 13:18:02
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

virtualzx

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
引用回帖:
5楼: Originally posted by luzongxing at 2013-12-26 20:27:50
由于R是未知，把R中的变量当作未知数，构造新的线性方程组，就是
AX=b的模式。

现在我的问题是，我构造出AX=b的线性方程组了。A，b是一直，哪一种求解方法比较精确。

求出旋转矩阵R以后，我们发现R*R'跟单位 ...

是的，修正一个接近特殊正交的矩阵，使其变为特殊正交矩阵。
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7楼2013-12-27 10:03:55
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普通回帖

virtualzx

木虫 (著名写手)
请问你的R矩阵是从什么地方出来的，和AX=B有啥联系啊？
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2楼2013-12-26 14:46:14
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luzongxing

银虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by virtualzx at 2013-12-26 14:46:14
请问你的R矩阵是从什么地方出来的，和AX=B有啥联系啊？

旋转矩阵R是点不同坐标系下的旋转变换矩阵。是3*3的矩阵、

第一问你就可以假设A是一个9*9的满秩矩阵
b是一个1*9的矩阵。来求矩阵X。
x是一个1*9的矩阵。求出来是R中的各个元素。
怎么有更高精度的算法。

第二问，由于在两个坐标系中的点对应不是那么精确，可能导致旋转矩阵算出来不是标准的单位正交矩阵，这时候需要微小的修正。
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3楼2013-12-26 17:28:23
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virtualzx

木虫 (著名写手)
xzhdty: 2013-12-27 06:18:54
引用回帖:
3楼: Originally posted by luzongxing at 2013-12-26 04:28:23
旋转矩阵R是点不同坐标系下的旋转变换矩阵。是3*3的矩阵、

第一问你就可以假设A是一个9*9的满秩矩阵
b是一个1*9的矩阵。来求矩阵X。
x是一个1*9的矩阵。求出来是R中的各个元素。
怎么有更高精度的算法。

...

嗯？奇怪呢，一般都是x.R=y求R，x和y都是3维矢量，或者A.R=B求R，A和B的所有特征值相等，没遇到过你说的9x9的情况。

既然是旋转变换，不单是正交矩阵，而且需要是特殊正交矩阵。特殊正交矩阵可以要求矩阵对数反对称得到。就是先求矩阵自然对数，然后反对称化，再求矩阵指数就行了
Q=logm(R)
Qsym=1/2(Q-Q.')
Rsym=expm(Qsym)
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4楼2013-12-27 01:45:16
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luzongxing

银虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by virtualzx at 2013-12-27 01:45:16
嗯？奇怪呢，一般都是x.R=y求R，x和y都是3维矢量，或者A.R=B求R，A和B的所有特征值相等，没遇到过你说的9x9的情况。

既然是旋转变换，不单是正交矩阵，而且需要是特殊正交矩阵。特殊正交矩阵可以要求矩阵对数反 ...

由于R是未知，把R中的变量当作未知数，构造新的线性方程组，就是
AX=b的模式。

现在我的问题是，我构造出AX=b的线性方程组了。A，b是一直，哪一种求解方法比较精确。

求出旋转矩阵R以后，我们发现R*R'跟单位矩阵会有一个很小的偏差。怎么修正使得R*R'跟接近于单位矩阵。。
你的
Q=logm(R)
Qsym=1/2(Q-Q.')
Rsym=expm(Qsym)
是针对矩阵的微小修正方法吗？
谢谢！
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5楼2013-12-27 09:27:50
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luzongxing

银虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by virtualzx at 2013-12-27 01:45:16
嗯？奇怪呢，一般都是x.R=y求R，x和y都是3维矢量，或者A.R=B求R，A和B的所有特征值相等，没遇到过你说的9x9的情况。

既然是旋转变换，不单是正交矩阵，而且需要是特殊正交矩阵。特殊正交矩阵可以要求矩阵对数反 ...

现在我的问题是，我构造出AX=b的线性方程组了。A{9*9}，b{1*9}是已知，哪一种求解方法比较精确。

上面打错字了。。
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6楼2013-12-27 09:29:19
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luzongxing

银虫 (小有名气)
引用回帖:
7楼: Originally posted by virtualzx at 2013-12-27 10:03:55
是的，修正一个接近特殊正交的矩阵，使其变为特殊正交矩阵。...

就是这个。谢谢你
请问这个的数学方法的理论计算过程在哪边可以找到。
方便的话可以留个邮箱吗？

还有这个分数怎么给你。
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8楼2013-12-27 10:22:59
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virtualzx

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
luzongxing: 金币+5, ★★★★★最佳答案 2013-12-29 21:07:45
引用回帖:
8楼: Originally posted by luzongxing at 2013-12-26 21:22:59
就是这个。谢谢你
请问这个的数学方法的理论计算过程在哪边可以找到。
方便的话可以留个邮箱吗？

还有这个分数怎么给你。...

这个是矩阵指数的一个性质，你可以查看一下矩阵指数的维基百科页面，性质那一栏里的倒数第二项（斜对称矩阵是反对称矩阵的别称）：

  • exp(X^T) = (exp X)^T，其中X^T表示X的转置。从中可以推出，如果X是对称矩阵，则e^X也是对称矩阵；如果X是斜对称矩阵，则e^X是正交矩阵。


另外如果你对群论比较熟悉的话，坐标旋转构成一个特殊正交群，而特殊正交群的李代数是反对称矩阵(就是矩阵的转置是矩阵本身的相反数)。而实矩阵的李代数是指数映射携带的。
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9楼2013-12-27 14:48:47
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luzongxing

银虫 (小有名气)
引用回帖:
9楼: Originally posted by virtualzx at 2013-12-27 14:48:47
这个是矩阵指数的一个性质，你可以查看一下矩阵指数的维基百科页面，性质那一栏里的倒数第二项（斜对称矩阵是反对称矩阵的别称）：

exp(X^T) = (exp X)^T，其中X^T表示X的转置。从中可以推出，如果X是对称矩阵， ...

我说说的的理解你看对不对。
Q=logm(R)去矩阵的对数，我还不知道有啥用。
A^T - A是斜对称矩阵。
所以Qsym=1/2*(Q-Q.')是构建斜对称矩阵，但是为什么要乘以1/2,还有那个逆前面为什么要加一个点？
如果X是斜对称矩阵，则e^X是正交矩阵。
Rsym=expm(Qsym)是吧斜对称矩阵转换为正交矩阵？

所以我到最后我还是不知道这样转换的数学依据。
就像推导公式一样。
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10楼2013-12-27 17:56:54
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