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陆小芈

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[求助] 一道关于tanh函数的证明题

请教大家了，真的是很无奈，证明不出来，还被人嘲讽啊！

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努力就对了

1楼 2013-11-14 19:19:32

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feixiaolin

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1）假定a=b，原式=(a-c*tanh(a))^2<=0, 显然不成立；
2）设a!=b, 记 x=tanh(b), 则有(x-a/c)*(x-b/c)<=0
   取x^2-(a+b)/c*x+a*b/c^2=0，得x=a/c, x=b/c.
   对x=a/c，及x=b/c取反函数，考虑到tanh()函数为单调函数,有
   0.5*ln[(1+min(a/c, b/c))/(1-min(a/c, b/c))]<=b<=0.5*ln[(1+max(a/c, b/c))/(1-max(a/c, b/c))]
   为了反双曲函数有定义，-c<a<c; -c<b<c是必须的。
进一步假设a<b, 上式可写成
0.5*ln[(c+a)/(c-a)]<=b<=0.5*ln[(c+b)/(c-b)]
至此，问题转化成b<=0.5*ln[(c+b)/(c-b)]是否有解的问题。
  取b=0.5*ln[(c+a)/(c-a)]，得a=tanh(b)*c，它与a=b，除0外有两个交点，一个为负，记作-cc；一个正。
原命题成立的条件为 -cc<=b<=0