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ejamse

新虫 (初入文坛)

[求助] 求大师给证明一下（或者证明原命题根本不成立）

在求拟斐波那契数列通项时，有个小困惑，没人搭理，只能换个话题了，附图
求大师给证明一下（或者证明原命题根本不成立）
2013-11-06_103535.jpg
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1楼 2013-11-06 10:47:52
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回帖置顶 ( 共有2个 )

hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
ejamse: 金币+5, ★★★★★最佳答案, 师兄功勋卓著，特此奖励 2013-11-07 09:36:15
ejamse: 回帖置顶 2013-11-07 09:47:17
引用回帖:
2楼: Originally posted by hank612 at 2013-11-06 14:24:38
我们来算一下以c1,c2, c3 为根的整系数方程长什么样。
首先要化简一下Ci。
由(x-r)(x-s)(x-t)=x^3 -x^2 -x -1立即得到
（1）:  (1-s)(1-t)= 2/(r-1)
(2):  (r-s)(r-t) = limit_{x -->r) (x^3 -x^2 -x -1)/(x ...

我上面犯了一个很低级的错误， 现在继续。

r*(r-1)*(3r^2-2r-1) =3r^4-5r^3+r^2+r
=3(2r^3-1) -5r^3 +(r^3-1) =2(r^3-2).

因此 C1= 1/ (r^3-2).
令 r^3=y, 由 r=(2r^3-1)/ r^3 得到y^4 =(2y-1)^3.
再令 y-2=z. 因此(z+2)^4=(2z+3)^3. 用Newton二项式展开，
得到 z^4 -12z^2 -22 z -11 =0. 因式分解掉 (z+1),
得到 (z+1)(z^3-z^2-11z-11)=0. 或者
1 - (1/z) - 11(1/z)^2 -11 (1/z)^3 =0.

因此， c1, c2, c3 满足 1-x-11x^2 -11x^3 =0. 楼主的目光实在敏锐， 于千万多项式中一语中的。

其实，直接用Matlab算出三个跟，代入ci, 再展开(x-c1)(x-c2)(x-c3), 不超过半分钟， 就能得到上面的结果啦。
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We_must_know. We_will_know.
6楼2013-11-07 00:29:09
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ejamse

新虫 (初入文坛)
ejamse: 回帖置顶 2013-11-07 10:15:35
附上我的结果
求大师给证明一下（或者证明原命题根本不成立）-1
拟斐波那契数列.png
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10楼2013-11-07 09:55:04
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

hank612

至尊木虫 (著名写手)
我们来算一下以c1,c2, c3 为根的整系数方程长什么样。
首先要化简一下Ci。
由(x-r)(x-s)(x-t)=x^3 -x^2 -x -1立即得到
（1）:  (1-s)(1-t)= 2/(r-1)
(2):  (r-s)(r-t) = limit_{x -->r) (x^3 -x^2 -x -1)/(x-r) =3r^2 -2r -1.
这里用了L'Hospital 法则。

于是 C1= 1/r * 2/(r-1) * 1/(3r^2-2r-1)
           = 1/(-r^2+3r-1) (利用r^3=r^2+r+1)
貌似此路不通， 还是等大牛来解答吧。
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We_must_know. We_will_know.
2楼2013-11-06 14:24:38
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普通回帖

mczhuanqu

铜虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
好久没做过了，都忘的差不多了，但这个命题不成立吧！C1*C2*C3=1/11，但是C1C2C3=—[ ]平方，不知道是不是你题目打错了！
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3楼2013-11-06 19:45:55
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ejamse

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by hank612 at 2013-11-06 14:24:38
我们来算一下以c1,c2, c3 为根的整系数方程长什么样。
首先要化简一下Ci。
由(x-r)(x-s)(x-t)=x^3 -x^2 -x -1立即得到
（1）:  (1-s)(1-t)= 2/(r-1)
(2):  (r-s)(r-t) = limit_{x -->r) (x^3 -x^2 -x -1)/(x ...

师兄分析得非常有道理，很受启发
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4楼2013-11-06 19:55:51
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ejamse

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
3楼: Originally posted by mczhuanqu at 2013-11-06 19:45:55
好久没做过了，都忘的差不多了，但这个命题不成立吧！C1*C2*C3=1/11，但是C1C2C3=—平方，不知道是不是你题目打错了！

请参看我前一求助贴：求教一数列通项
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5楼2013-11-06 19:57:36
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
楼主的题目有错误吧？直观就能看出x=1是x3-x2-x-1=0的一个根。但它绝不是11x3+11x2+x-1=0的根。而一元三次方程最多只有三个实根。因此，若r、s、t是x3-x2-x-1=0的三个根。则他不可能是方程11x3+11x2+x-1=0的三个根。
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7楼2013-11-07 00:56:42
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ejamse

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
6楼: Originally posted by hank612 at 2013-11-07 00:29:09
我上面犯了一个很低级的错误， 现在继续。

r*(r-1)*(3r^2-2r-1) =3r^4-5r^3+r^2+r
=3(2r^3-1) -5r^3 +(r^3-1) =2(r^3-2).

因此 C1= 1/ (r^3-2).
令 r^3=y, 由 r=(2r^3-1)/ r^3 得到y^4 =(2y-1)^3.
再令 ...

你的这两招太厉害了：
由(x-r)(x-s)(x-t)=x^3 -x^2 -x -1立即得到
（1）:  (1-s)(1-t)= 2/(r-1)
(2):  (r-s)(r-t) = limit_{x -->r) (x^3 -x^2 -x -1)/(x-r) =3r^2 -2r -1.
这里用了L'Hospital 法则。
是神来之笔，直接让我打通任督二脉，我也得出结果了！
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8楼2013-11-07 09:40:51
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ejamse

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
7楼: Originally posted by peterflyer at 2013-11-07 00:56:42
楼主的题目有错误吧？直观就能看出x=1是x3-x2-x-1=0的一个根。但它绝不是11x3+11x2+x-1=0的根。而一元三次方程最多只有三个实根。因此，若r、s、t是x3-x2-x-1=0的三个根。则他不可能是方程11x3+11x2+x-1=0的三个根。

请参看我前一求助贴：求教一数列通项
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9楼2013-11-07 09:42:48
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