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fengweiche木虫 (小有名气)
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求解一方程，急需各位大侠帮助
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dC/dt = a*C+b*C^n，a，b，n为常数，求C与t的关系，用t的表达式代表C, 多谢！ |
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C(t)=exp(-log((-b+exp(-a*t*n+a*t)*d1*a)/a)/(n-1)) 其中d1为任意常数! |
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fengweiche2楼2013-11-05 23:32:54
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C'-a*C=b*C^n 改写：dC/[a*C+b*C^n]=dt，变形 dC/{C[a+b*C^(n-1)]}=dt {(1/a)/C -b/a*C^(n-2)/[a+b*C^(n-1)]}*dC=dt d{lnC/a-1/a*ln[a+b*C^(n-1)/(n-1)]}=dt lnC-ln{[a+b*C^(n-1)]^[1/(n-1)]}=a*t+K, K=const. C/{[a+b*C^(n-1)]^[1/(n-1)]}=exp[a*t+K]=K1*exp(a*t) K1=const. |
3楼2013-11-05 23:37:36
fengweiche
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n=0时直接使用一阶线性微分方程求解公式得: c = k * exp(at) - b/a; 其中k为任意常数,下同 n=1时c'=(a+b)*c, c'/c = a+b, c=k*exp[(a+b)t]. n不等于0、1时，该微分方程是伯努利方程. 方程c'=ac+bc^n两边同时除以c^n，再乘以(1-n)得 (1-n)c^(-n)*c' = (1-n)*a*c^(1-n)+b*(1-n) [c^(1-n)]' = (1-n)*a*c^(1-n)+b*(1-n) 从而c^(1-n) = k*exp((1-n)*a)-b/a. |
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9楼2013-11-07 10:01:07
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fengweiche: 金币+3, ★★★很有帮助 2013-11-07 16:32:03
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求解过程： dC/dt = a*C+b*C^n，a，b，n为常数，这不就是伯努利方程吗。楼主看着我怎么解呀： 两边同除以C^n,得到： C^(-n)*dC/dt-a*C^(1-n)=b, 即：[1/(1-n)]*dC^(1-n)/dt-a*C^(1-n)=b 令u=C^（1-n）,：[1/(1-n)]*du/dt-a*u=b, du/dt+(n-1)*a*u=-(n-1)b 。 这是个一阶线性常系数非齐次方程。套用现成的公式，经整理得： u(t)=A*exp[-(n-1)*a*t]-b/a 带回到原来的式子： C^(1-n)=A*exp[-(n-1)*a*t]-b/a C(t)={A*exp[-(n-1)*a*t]-b/a}^1-n 解题完毕。 |
10楼2013-11-07 13:59:22
