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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 求解一方程，急需各位大侠帮助
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fengweiche

木虫 (小有名气)

浪子

[求助] 求解一方程，急需各位大侠帮助

dC/dt = a*C+b*C^n，a，b，n为常数，求C与t的关系，用t的表达式代表C, 多谢！
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心有多远，就能飞多远！
1楼 2013-11-05 22:27:35
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zywang1999

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
fengweiche: 金币+4 2013-11-07 16:31:34
n=0时直接使用一阶线性微分方程求解公式得: c = k * exp(at)  - b/a; 其中k为任意常数,下同
n=1时c'=(a+b)*c, c'/c = a+b, c=k*exp[(a+b)t].
n不等于0、1时，该微分方程是伯努利方程.
方程c'=ac+bc^n两边同时除以c^n，再乘以(1-n)得
(1-n)c^(-n)*c' = (1-n)*a*c^(1-n)+b*(1-n)
[c^(1-n)]' = (1-n)*a*c^(1-n)+b*(1-n)
从而c^(1-n) = k*exp((1-n)*a)-b/a.
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fengweiche
我是这么深爱你啊，我的中国
9楼2013-11-07 10:01:07
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
fengweiche: 金币+3, ★有帮助 2013-11-06 10:05:45
C(t)=exp(-log((-b+exp(-a*t*n+a*t)*d1*a)/a)/(n-1))
其中d1为任意常数!
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fengweiche
善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
2楼2013-11-05 23:32:54
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
fengweiche: 金币+3, ★有帮助 2013-11-06 10:05:59
C'-a*C=b*C^n
改写：dC/[a*C+b*C^n]=dt，变形
dC/{C[a+b*C^(n-1)]}=dt
{(1/a)/C -b/a*C^(n-2)/[a+b*C^(n-1)]}*dC=dt
d{lnC/a-1/a*ln[a+b*C^(n-1)/(n-1)]}=dt
lnC-ln{[a+b*C^(n-1)]^[1/(n-1)]}=a*t+K,     K=const.
C/{[a+b*C^(n-1)]^[1/(n-1)]}=exp[a*t+K]=K1*exp(a*t)    K1=const.
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3楼2013-11-05 23:37:36
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fengweiche

木虫 (小有名气)

浪子
送红花一朵
引用回帖:
2楼: Originally posted by wurongjun at 2013-11-05 23:32:54
C(t)=exp(-log((-b+exp(-a*t*n+a*t)*d1*a)/a)/(n-1))
其中d1为任意常数!

,有没有具体步骤
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心有多远，就能飞多远！
4楼2013-11-06 10:11:28
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