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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 中心差分求解二维热传导的matlab程序
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paipai314

金虫 (初入文坛)

[求助] 中心差分求解二维热传导的matlab程序

clear;close all;
L=100;S=120;M=20;N=24;timeMax=50000;
Currtime=100;DL=[0:L/M:L];DS=[0:S/N:S];
T=ones(M,N,timeMax)*30;
T(1:M,1,1:1:timeMax)=50;
T(1:M,N,1:1:timeMax)=50;
T(1,1:N,1:1:timeMax)=80;
T(M,1:N,1:1:timeMax)=100;
f=0.1;
for i=2:M-1
  for j=2:N-1
    T(i,j,2)=f*T(i-1,j,1)+f*T(i,j-1,1)+(1-4*f)*T(i,j,1)+f*T(i+1,j,1);
  end;
end;
for t=3:timeMax
for i=2:M-1
  for j=2:N-1
    T(i,j,t)=f*T(i-1,j,t-1)+f*T(i,j-1,t-1)-4*f*T(i,j,t-1)+f*T(i+1,j,t-1)+f*T(i,j+1,t-1)+T(i,j,t-2);
  end;
end;
end;
[x,y]=meshgrid(1:M,1:N);
mesh(T(1:M,1:N,Currtime));
title(['2D Temperature Field, t=',num2str(Currtime-1),'s']);
xlabel('x length(L/M)');
ylabel('y length(L/N)');
zlabel('Temperature(^oC)')
运行结果不正确，是方程不收敛么==  求大神指导，求思路
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1楼 2013-09-21 19:56:31
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

cjltxxz

新虫 (初入文坛)
lz，想请教一下您是如何修正的？
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9楼2014-09-23 08:47:19
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dailycrane

新虫 (初入文坛)
想请教一下是如何修正的？
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10楼2014-09-24 23:36:27
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yongcailiu

金虫 (小有名气)
for i=2:M-1
  for j=2:N-1
    T(i,j,2)=f*T(i-1,j,1)+f*T(i,j-1,1)+(1-4*f)*T(i,j,1)+f*T(i+1,j,1);
  end;
end;
这里面用的公式不对吧？循环体执行的应该是
T(i,j,2)=f*T(i-1,j,1)+f*T(i,j-1,1)+f*T(i,j+1,1)-4*f*T(i,j,1)+f*T(i+1,j,1);

如果结果还不正确，可能对于你给定的方程，中心差分法不满足收敛性或者稳定性了
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2楼2013-09-21 20:11:05
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paipai314

金虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by yongcailiu at 2013-09-21 20:11:05
for i=2:M-1
  for j=2:N-1
    T(i,j,2)=f*T(i-1,j,1)+f*T(i,j-1,1)+(1-4*f)*T(i,j,1)+f*T(i+1,j,1);
  end;
end;
这里面用的公式不对吧？循环体执行的应该是
T(i,j,2)=f*T(i-1,j,1)+f*T(i,j-1,1)+f*T(i,j+1 ...

也还是不对的，，，
我的思路是，中心差分的时间差有2，所以需要知道前2秒的状态才可以继续算后面的，所以第2秒的状态先用前向差分算。这个思路是不是正确的？有误的话烦请指教一下。或者有没有其他的思路？
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3楼2013-09-21 20:25:40
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paipai314

金虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by yongcailiu at 2013-09-21 20:11:05
for i=2:M-1
  for j=2:N-1
    T(i,j,2)=f*T(i-1,j,1)+f*T(i,j-1,1)+(1-4*f)*T(i,j,1)+f*T(i+1,j,1);
  end;
end;
这里面用的公式不对吧？循环体执行的应该是
T(i,j,2)=f*T(i-1,j,1)+f*T(i,j-1,1)+f*T(i,j+1 ...

如果是方程不满足收敛性，可以修正么？该如何修正？
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4楼2013-09-21 20:32:37
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yongcailiu

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
paipai314: 金币+5, ★★★很有帮助 2013-09-22 22:28:02
引用回帖:
4楼: Originally posted by paipai314 at 2013-09-21 20:32:37
如果是方程不满足收敛性，可以修正么？该如何修正？...

如果你求解的是二维的热传导方程的话，用中心差分格式可能确实不行。原因是一维的热传导方程，中心差分格式（Richardson格式）恒不稳定。参见高教出版社李荣华等编著的《微分方程数值解法（第四版）》第三章的内容，里面提到了一维情形下的分数步长法，理论结果挺好的，希望对你有帮助。另外，你的程序写的没问题，我当时没有理解好你要求解的方程，看程序中的代码你使用的好像不是中心差分格式，倒像是向前差分格式，而采用向前差分格式是条件稳定的，也就是时间步长tao，前面的系数a(对应你程序里面的f)和空间步长h应该满足一定条件，即r=a*tao/(h*h)<=0.5（一维情况下的结果）。
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5楼2013-09-22 22:01:55
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paipai314

金虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by yongcailiu at 2013-09-22 22:01:55
如果你求解的是二维的热传导方程的话，用中心差分格式可能确实不行。原因是一维的热传导方程，中心差分格式（Richardson格式）恒不稳定。参见高教出版社李荣华等编著的《微分方程数值解法（第四版）》第三章的内容 ...

程序中先用了向前差分求t=2的时候的状态，之后就是用中心差分的了，那个方程确实是不稳定的，修正了一下就可以了。
非常感谢你的答复！
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6楼2013-09-22 22:17:29
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paipai314

金虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by yongcailiu at 2013-09-22 22:01:55
如果你求解的是二维的热传导方程的话，用中心差分格式可能确实不行。原因是一维的热传导方程，中心差分格式（Richardson格式）恒不稳定。参见高教出版社李荣华等编著的《微分方程数值解法（第四版）》第三章的内容 ...

额，第1次发帖，这个金币是要怎么给你的==
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7楼2013-09-22 22:25:02
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paipai314

金虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by yongcailiu at 2013-09-22 22:01:55
如果你求解的是二维的热传导方程的话，用中心差分格式可能确实不行。原因是一维的热传导方程，中心差分格式（Richardson格式）恒不稳定。参见高教出版社李荣华等编著的《微分方程数值解法（第四版）》第三章的内容 ...

金币已给
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8楼2013-09-22 22:28:54
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