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jollage

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[求助] 没学好函数展开

怎样把这种多项式在分子下面的分式表达成多项式的和？第一张图片那个是bessel function，里面说的不清楚，所以请看第二张。谢谢

屏幕快照 2013-03-25 下午11.09.11.png

屏幕快照 2013-03-25 下午11.24.22.png

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1楼 2013-03-26 06:25:50

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yumoym

至尊木虫 (文坛精英)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

这样的多项式不可能.在0处都不相等.

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2楼2013-03-26 08:53:32

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weft

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你这个提法可能不妥，为什么一定是多项式呢？你给的第一张图片中的例子也不是多项式啊。我觉得你可以换一个思路，按照复变函数中的那样展开成Laurent级数，这倒是可以的，实际上你的第二张图片中的 ${n \in \mathbb{Z}}$ 已经暗示了这一点，如果是多项式的话，应该是 ${n \in \mathbb{N}}$ 。所以我觉得不妨直接将x看成复变量，然后在x=0附近进行Laurent展开，这个肯定是可以的，而且非常简单。

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3楼2013-03-26 10:08:30

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weft

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

你这个提法可能不妥，为什么一定是多项式呢？你给的第一张图片中的例子也不是多项式啊。我觉得你可以换一个思路，按照复变函数中的那样展开成Laurent级数，这倒是可以的，实际上你的第二张图片中的 ${n \in \mathbb{Z} }$ 已经暗示了这一点，如果是多项式的话，应该是 ${n \in \mathbb{Z} }$ 。所以我觉得不妨直接将x看成复变量，然后在x=0附近进行Laurent展开，这个肯定是可以的，而且非常简单。

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4楼2013-03-26 10:10:48

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4楼: Originally posted by weft at 2013-03-26 10:10:48
你这个提法可能不妥，为什么一定是多项式呢？你给的第一张图片中的例子也不是多项式啊。我觉得你可以换一个思路，按照复变函数中的那样展开成Laurent级数，这倒是可以的，实际上你的第二张图片中的{n \in \mathbb{Z ...

第二个应该是 ${n \in \mathbb{N} }$ 。

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5楼2013-03-26 10:12:35

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
jollage: 金币+5, ★★★很有帮助, 谢谢你！！你的评论里说的是对的，是应该是Z里，我表达的不够准确。你所指出的Laurent expansion正是我脑子里想回忆但是没回忆起来的方法。有个问题，等比级数展开时不是要在x比较小的情况下才能收敛吗？谢谢 2013-03-27 00:19:41

Laurent展开的结果

Laurent expansion.png

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6楼2013-03-26 10:49:20

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拉布拉多犬

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这个叫双边幂级数展开。

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7楼2013-03-27 16:35:18

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拉布拉多犬

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二楼的说法欠妥，因为0是这个函数的奇点，官方语言叫3级极点。哈哈哈

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8楼2013-03-27 16:37:55

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weft

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6楼: Originally posted by weft at 2013-03-26 10:49:20
Laurent展开的结果

Laurent expansion.png

等比级数展开当然是有条件的，在你这个例子中就是 ${ \left| \frac{5}{2}z^2 + \frac{3}{2}z^4 + 10 z^6 \right|<1 }$ 的时候才行，这个是没问题的，因为 ${ \frac{5}{2}z^2 + \frac{3}{2}z^4 + 10 z^6 }$ 在z=0时取值为0，根据连续性，肯定存在一个小邻域U使得在U上的模<1。至于这个U的表达式可能不太好直接写出来，但根据连续性肯定是存在的。关于Laurent级数去翻翻复变函数的书，没多少困难。

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9楼2013-03-27 23:48:19

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jollage

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9楼: Originally posted by weft at 2013-03-27 23:48:19
等比级数展开当然是有条件的，在你这个例子中就是{ \left| \frac{5}{2}z^2 + \frac{3}{2}z^4 + 10 z^6 \right|<1 }的时候才行，这个是没问题的，因为{ \frac{5}{2}z^2 + \frac{3}{2}z^4 + 10 z^6 } 在z=0时取值 ...

谢谢你的耐心解释

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10楼2013-03-29 07:00:06

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