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一个关于算子代数的问题
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| H是一个希尔伯特空间，f是B(H)上的线性泛函。如果f限于B(H)的单位球是σ-强算子连续的，请问如何证明f是B(H)上的σ-强算子连续的泛函？本人较为愚钝，请各位前辈回答的具体一点，谢谢。 |
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【答案】应助回帖
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你看这样可不可以。 假设有界算子T_n σ-强算子拓扑收敛于T ，也就是对任意的紧算子S, T_n S 范数拓扑收敛于TS. 我们只需证明f(T_n) 收敛于f(T). 为了这个最终目标，任意取H中的元素x，我们令S_x: H ---> H 为投影到x生产的子空间算子。这是个紧算子。那么T_n S_x (x)=T_n(x) 收敛于 T(x). 也就是T_n(x)对于任意的x 是有界的。根据共鸣定理，{T_n| n\in N} 的范数是一致有界的。我们假设M是他们的一个充分大的公共上届。我们有 ||(T_n - T)/M S M||---> 0. 注意到T_n /M 和T/M 是在单位球中的。根据条件 f(T_n)/M ---> f(T)/M， 也就是 f(T_n) 收敛于f(T)。 |
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