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zgchen9金虫 (小有名气)
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[求助]
请问如何求解二元一阶微分方程组
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各位朋友新年好，我需要解一个二元一阶微分方程组，但是本人数学水平有限，特请交各位朋友。 A,B,C,D,E,F,K为常数，x 和y为t 的函数。dx/dt和dy/dt为导数，二元一阶微分方程组如下： dx/dt=Ax+By+C dy/dt=Dx+Ey+F 边界条件为t=0时，x=y=K. 请问如何得到x 和y. 谢谢。  方程组 |
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peterflyer 
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【答案】应助回帖
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设X(t)和Y(t)的Laplace变换分别记为F1（s）和F2（s）。分别对两个方程的两边取Laplace变换，得： s*F1(s)=A*F1(s)+B*F2(s)+C/s s*F2(s)=D*F1(s)+E*F2(s)+F/s 联解以上二元一次方程求出F1(s)和F2(s) F1(s)=(B*F-C*E)/{s*[(B-E)*s+a*e-b*d]} =[(B*F-C*E]/[A*E-B*D]/s+[(B*F-C*E]/[A*E-B*D]/{s-[B*D-A*E]/(B-E)} F2(s)=[(F-C)*s+C*D-A*F]/{s^2*[(B-E)*s+a*e-b*d]} =(C*D-A*F)(A*E-B*D)/s^2+(F-C)/(B-E+A*E-B*D)/s+(F-C)/(B-E+A*E- B*D)/[s-(A*E-B*D)/(B-E)] 对F1(s)和F2(s)分别求反变换，并注意到变换与反变换具有线性叠加性质，且反变换公式：1/s的反变换为1；1/ (s-a)的反变换为exp(at),1/s^2的反变换为t/Γ(2),由此便可求的X(t)和Y(t)。 完毕。 |
8楼2013-11-07 16:53:37
【答案】应助回帖
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soliton923(金币+2): 谢谢参与讨论~~~ 2012-01-02 22:31:57
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用mathematica软件可以求解： DSolve[{x'[t] == A x[t] + B y[t] + C, y'[t] == D x[t] + E y[t] + F, x[0] == K, y[0] == K}, {x, y}, t] // Simplify 答案是： x -> Function[{t}, (2 E^(-(1/ 2) (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) (-2 B C D E^( 1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) + 2 B C D E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) + 2 B C D E^( Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) - A C E^(1 + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) + C E^(2 + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) + A C E^(1 + 1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) - C E^(2 + 1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) - 2 B C D E^( 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t + 1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) + A C E^(1 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t + 1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) - C E^(2 + 1/2 (A + E - 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2楼2012-01-02 22:28:24
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