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【答案】应助回帖
sweety: 应助指数+1 2013-11-10 12:49:18
sweety: 数学EPI+1, 耐心解答 2013-11-10 12:49:37
求解过程：对方程（1）、（2）两边求Laplace变换，记X(s) 、Y(s)分别为x=x(t)和y=y(t)关于t的Laplace变换。由拉氏变换的性质，有：
s*X(s)-k=A*X(s)+B*Y(s)+C/s (3)
s*Y(s)-k=D*X(s)+E*Y(s)+F/s (4)
联解方程（3）和（4），有：
X(s)=[k*s+(B*k-E*k+C)+(B*F-C*E)/s]/{[s-(A+E)/2]^2-[(A-E)^2/4
+B*D]}
=[k*s+(B*k-E*k+C)]/{[s-(A+E)/2]^2-[(A-E)^2/4+B*D]}
+(B*F-C*E)/(A*E-B*D)*1/s
+{[(C*E-B*F)/(A*E-B*D)]*s+(B*F-C*E)*(A+E)/(A*E-B*D)}/
/{[s-(A+E)/2]^2-[(A-E)^2/4+B*D]}
Y(s)=[k*s+(F+D*k-A*k)+(C*D-A*F)/s]/{[s-(A+E)/2]^2-[(A-E)^2/4
+B*D]}
=[k*s+(F+D*k-A*k)]/{[s-(A+E)/2]^2-[(A-E)^2/4+B*D]}
+[(C*D-A*F)/(A*E-B*D)]*1/s
+{[A*F-C*D)/(A*E-B*D)]*s+(A+E)*(C*D-A*F)/(A*E-B*D)}/
/{[s-(A+E)/2]^2-[(A-E)^2/4+B*D]}
对X(s)和Y(s)求拉氏反变换，得到x=x(t)和y=y(t)的表达式。查拉氏反变换表可知：1/s的拉氏反变换为1；s/[s^2+ω^2]的反变换为Cosωt;
1/[s^2+ω^2]的反变换为Sinωt; 1/[(s-δ)^2+ω^2]的反变换为
exp(at)*Cosωt; (s-δ)/[(s-δ)^2+ω^2]的反变换为exp(at)*Sinωt;
1/(s-a)的反变换为exp(at),同时并注意到拉氏变换与反变换均具有线性叠加的性质，故可得到如下结果：
(1) 若-B*D-(A-E)^2/4 ≥0, 令ω^2=-B*D-(A-E)^2/4 ,此处ω≥0
则上面的X(s)和Y(s)的表达式均可通过代数中的知识表达为由1/s、(s-γ)/[(s-γ)^2+ω^2]以及1/[(s-γ)^2+ω^2]等的线性表达式。因此， x(t)与y(t)均为1、exp(γ*t)*Cosωt、exp(γ*t)*Sinωt等的线性表达式，只不过各自的系数不同而已。由于表达式过于复杂，这里就不具体写出了。
（2）若-B*D-(A-E)^2/4 ≤0，令-ω^2=-B*D-(A-E)^2/4 ,此处ω≥0
此时，X(s)和Y(s)均可表达为1/s、1/(s-γ)、1/(s+γ)等的线性表达式，因此， x(t)与y(t)均为1、exp(γ*t）、exp(-γ*t)等的线性表达式，只不过各自的系数不同而已。由于表达式过于复杂，这里就不具体写出了。 |
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