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zgchen9

金虫 (小有名气)

[求助] 请问如何求解二元一阶微分方程组

各位朋友新年好,我需要解一个二元一阶微分方程组,但是本人数学水平有限,特请交各位朋友。
A,B,C,D,E,F,K为常数,x 和y为t 的函数。dx/dt和dy/dt为导数,二元一阶微分方程组如下:
dx/dt=Ax+By+C
dy/dt=Dx+Ey+F
边界条件为t=0时,x=y=K.


请问如何得到x 和y. 谢谢。

方程组
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer


【答案】应助回帖

对了,Γ(2)等于1. Γ(n)=(n-1)!
10楼2013-11-07 17:05:15
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一山

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与,应助指数 +1
soliton923(金币+2): 谢谢参与讨论~~~ 2012-01-02 22:31:57
zgchen9(金币+5): ★★★很有帮助 2012-01-02 22:34:49
zgchen9(金币+5): ★★★很有帮助 2012-01-02 22:35:21
zgchen9(金币+5): ★★★很有帮助 2012-01-05 20:58:34
用mathematica软件可以求解:
DSolve[{x'[t] == A x[t] + B y[t] + C, y'[t] == D x[t] + E y[t] + F,
   x[0] == K, y[0] == K}, {x, y}, t] // Simplify

答案是:

x -> Function[{t}, (2 E^(-(1/
         2) (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) (-2 B C D E^(
          1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) +
         2 B C D E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) +
         2 B C D E^(
          Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
           1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) -
         A C E^(1 + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
           1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) +
         C E^(2 + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
           1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) +
         A C E^(1 + 1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) -
          C E^(2 + 1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) -
         2 B C D E^(
          1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
           1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) +
         A C E^(1 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
           1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) -
         C E^(2 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
           1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) -
         A C E^(1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) +
         C E^(2 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) +
         C E^(1 + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
           1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
          A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] +
         C E^(1 + 1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t)
           Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] -
         C E^(1 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
           1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
          A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] -
         C E^(1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
          A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] +
         A B E^(1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F -
         A B E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F -
         A B E^(Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
           1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F -
         B E^(1 + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
           1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F +
         B E^(1 + 1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F +
         
         A B E^(1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
           1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F +
         B E^(1 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
           1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F -
         B E^(1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F -
         B E^(1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
          A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] F +
         B E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
          A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] F -
         B E^(Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
           1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
          A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] F +
         B E^(1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
           1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
          A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] F +
         A B D E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K +
         2 B^2 D E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K -
         A B D E^(
          1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
           1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K -
         2 B^2 D E^(
          1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
           1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K +
         A^2 E^(1 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
           1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K +
         2 A B E^(
          1 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
           1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K +
         B D E^(1 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
           1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K -
         A E^(2 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
           1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K -
         A^2 E^(1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K -
         2 A B E^(1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K -
          B D E^(1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K +
         A E^(2 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K +
         B D E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
          A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] K +
         B D E^(1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
           1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
          A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] K -
         A E^(1 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
           1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
          A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] K -
         A E^(1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
          A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] K))/(Sqrt[
       A^2 + 4 B D - 2 A E +
        E^2] (-A - E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) (A + E + Sqrt[
         A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]))],
  y -> Function[{t}, -(2 E^(-(1/
          2) (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) (-A C D E^(
           1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) +
          A C D E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) +
          A C D E^(
           Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
            1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) +
          C D E^(1 + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
            1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) -
         
          C D E^(1 +
            1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) -
          A C D E^(
           1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
            1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) -
          C D E^(1 +
            1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
            1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) +
          C D E^(1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) +
          C D E^(1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t)
            Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] -
          C D E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
           A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] +
          C D E^(Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
            1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
           A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] -
          C D E^(1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
            1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
           A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] +
          A^2 E^(1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F +
          2 B D E^(1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t)
            F -
          A^2 E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F -
          2 B D E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F -
          A^2 E^(Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
            1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F -
          2 B D E^(
           Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
            1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F +
          A E^(1 + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
            1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F -
          A E^(1 + 1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t)
            F + A^2 E^(
           1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
            1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F +
          2 B D E^(
           1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
            1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F -
          A E^(1 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
            1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F +
          A E^(1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) F -
          A E^(1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
           A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] F +
          A E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
           A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] F -
          A E^(Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] t +
            1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
           A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] F +
          A E^(1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
            1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
           A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] F +
          A B D E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K -
          2 B D^2 E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K -
          A B D E^(
           1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
            1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K +
          2 B D^2 E^(
           1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
            1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K +
          A^2 E^(1 +
            1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
            1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K -
          2 A D E^(
           1 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
            1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K +
          B D E^(1 +
            1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
            1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K -
          A E^(2 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
            1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K -
          A^2 E^(1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K +
          2 A D E^(1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t)
            K - B D E^(
           1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K +
          A E^(2 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) K -
          B D E^((A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
           A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] K -
          B D E^(1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
            1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
           A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] K +
          A E^(1 + 1/2 (A + E - Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t +
            1/2 (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
           A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] K +
         
          A E^(1 + (A + E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) t) Sqrt[
           A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2] K))/(Sqrt[
        A^2 + 4 B D - 2 A E +
         E^2] (-A - E + Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]) (A + E +
          Sqrt[A^2 + 4 B D - 2 A E + E^2]))]}}
忽悠王之俗家弟子
2楼2012-01-02 22:28:24
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soliton923

铁杆木虫 (职业作家)

数学村村长

看图吧,希望对你有用


soliton;sato-theory;algebre-geometry;Random-Matrices-Theory; Riemann-Hilbert method
3楼2012-01-02 22:29:45
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lilac_c

至尊木虫 (知名作家)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
zgchen9(金币+2): 有帮助 2012-01-03 19:56:55
我们一般不直接求出解析解,太难了.

 都采用数值格式求解

离散,.......龙格库塔
我生活在一个经常爆发地震的年代
4楼2012-01-03 09:49:02
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