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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 矩阵的范数问题，望大牛们帮忙解答！
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wait1986

金虫 (著名写手)

GrtDr

[求助] 矩阵的范数问题，望大牛们帮忙解答！

已知一个矩阵A，A矩阵的逆存在且表示为A-1。如果A的范数是有界的，能否得到结论：A-1的范数也是有界的？如果能，请讲一下证明过程，如果不能，请给出反例。谢谢。
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BIG
1楼 2011-08-27 10:31:38
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zcius

至尊木虫 (知名作家)

【答案】应助回帖

★
soliton923(金币+1): 谢谢参与讨论~~ 2011-08-27 16:40:15
能。
\|A^{-1}\| = \|A\|^{-1}。

即A逆的范数是A的范数的倒数。
故若A是有界的，A的逆也是有界的。
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2楼2011-08-27 10:50:26
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wait1986

金虫 (著名写手)

GrtDr
引用回帖:
2楼: Originally posted by zcius at 2011-08-27 10:50:26:
能。
\|A^{-1}\| = \|A\|^{-1}。

即A逆的范数是A的范数的倒数。
故若A是有界的，A的逆也是有界的。

在矩阵论一书中，我看到如下结论：
A-1的范数 大于或等于 A的范数的倒数。
本人对此知之甚少，请问在什么情况下大于号成立呢？或者是我对书本的理解有些片面？请不吝赐教。
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BIG
3楼2011-08-27 15:51:01
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zcius

至尊木虫 (知名作家)

【答案】应助回帖

wait1986(金币+1): 没太懂 2011-08-27 17:15:36
引用回帖:
3楼: Originally posted by wait1986 at 2011-08-27 15:51:01:
在矩阵论一书中，我看到如下结论：
A-1的范数 大于或等于 A的范数的倒数。
本人对此知之甚少，请问在什么情况下大于号成立呢？或者是我对书本的理解有些片面？请不吝赐教。

I 的范数大于等于1，故你说的是成立的。

用2范数即可。
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4楼2011-08-27 16:16:52
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pengyehui

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

wait1986(金币+1): 谢谢回答。 2011-08-27 19:01:53
结论错误！
比如：A_n=[1 0; 0 1/n]，显然A_n的范数不超过1，A_n的逆的范数为n，趋于无穷
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5楼2011-08-27 18:45:11
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wullww

至尊木虫 (文坛精英)

【答案】应助回帖

wait1986(金币+1): 2011-08-28 09:03:57
楼上的不对吧，这里又不是求极限
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6楼2011-08-27 19:01:05
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pengyehui

木虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by wullww at 2011-08-27 19:01:05:
楼上的不对吧，这里又不是求极限

首先必须对于一个集合才有 有界 这个意义！
那么就针对这样的集合：{A_n=[1  0; 0  1/n]}
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7楼2011-08-27 21:18:32
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jfili

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

wait1986(金币+2): 2011-08-28 09:04:04
如一维的，就直接用绝对值表示其范数，x(0 并且是有界的
可是其逆是无界的
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8楼2011-08-27 21:55:25
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liuzhen8936

金虫 (正式写手)
如果矩阵的逆存在，则其逆的范数一定存在，其计算公式可按照矩阵范数的相关定义求解即可！
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做有意义的事
9楼2011-08-29 20:00:18
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guoguozhc

新虫 (初入文坛)
这个我也不知道呀
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10楼2011-09-04 18:01:00
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