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哈哈里77

金虫 (小有名气)

[求助] 求助高中数学一题

已知函数f(x)=log1/2 (x-1)+1/x,
方程f(x)=0是否有解?若无解请说明理由 若有解有几个解？

[ Last edited by soliton923 on 2011-8-12 at 11:39 ]
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1楼2011-08-12 10:15:19
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麻帕烦

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

soliton923: 谢谢参与讨论， 2011-08-12 11:39:33
哈哈里77(金币+5): 2011-08-12 20:59:36
如果我没做错的话，有一个解，主要是通过作图法来看的……
因为，f(x)=0，所以，log1/2 (x-1)+1/x=0，且x>1，则1/x=-log1/2 (x-1)，则1/x=lg2(x-1)，从而1/x=lg2+lg(x-1)
假设，函数1，f(x)=1/x；函数2，f(x)=lg2+lg(x-1)，通过作图，看两函数的曲线是否有交点，有几个交点就是有几个解，没有交点则没有解（我简单的画了一下图，只有一个交点，所以认为只有一个解）
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2楼2011-08-12 11:31:02
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yzbin1013

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

哈哈里77(金币+5): 2011-08-12 20:59:31
对函数f(x)=log1/2 (x-1)+1/x求导，f‘（x）=—[x^2ln2+(x-1)]/(X-1)X^2，根据定义域可知x>1,所以f'(x）的分母大于0，分子ln2*x^2+x—1=0，两根x1和x2，从无穷小到X1时导数值小于0，x1至X2导数值大于0，x2至无穷大事导数又小于0，所以f(x1)为函数最小值，f（X2）为最大值。
本体数值复杂，希望抛砖引玉
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宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来
3楼2011-08-12 12:05:20
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bubuluan

铁虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

哈哈里77(金币+10): 2011-08-12 20:59:24
soliton923: 高中就能用导数来判断单调性了？ 2011-08-12 23:56:09
1.函数的导数f'(x)=4mx-m^2+5
在(-∞,1]单调递增，说明在x=1处导数为0
即4m-m^2+5=0
解得m=5或-1
单调递增推出在(-∞,1]区间导数小于0，4mx>m^2-5，m^2-5是一个常数，而4mx是跟x有关的，如果x是一个很小的负数，则m必须是一个小于0的数，才能保证4mx是一个很大的正数，如果m是大于0的数，则4mx在(-∞,1]可以达到负无穷那么小，会小于m^2-5。因此取m的值为-1.
2.在区间(-∞,1]单调递增，在区间（1，+∞）上递减，那就是在x=1时候f(x)最大，值域上限为f(x)=1,然后比较x=-1和x=5时候哪个f(x)最小，就是值域下限。
f(-1)=-7,f(5)=-31
所以值域是[-31,1]
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作家
4楼2011-08-12 17:59:06
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