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golddoushi

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[求助] 全同粒子的问题已有3人参与

全同粒子波函数要么交换对称，要么交换反对称。大部分书把这个当基本假设，既然是基本假设，那自然不能问为什么了
但是书上又似乎给了一点推导，或者说明（实验上的论证就不罗列了），例如比较经典的
P12 ψ(1,2) = ψ(2,1) = λ ψ(1,2)    ①
P12 ψ(2,1) = ψ(1,2) = λ ψ(2,1)    ②
所以 λ = ±1                                  ③

问题是，①中的λ 没理由非得等于 ②中的λ 啊，为什么能交换算符 P12和系数λ 的位置
比如 λ1=i，λ2=-i 行不行？

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1楼 2016-06-21 11:11:22

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simonrac

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【答案】应助回帖

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golddoushi: 金币+20, ★★★★★最佳答案, 非常感谢，用矩阵表示出来果然是一目了然 2016-06-21 17:10:11

回答这个问题需要了解Exchange operator P的几个性质：

1. P是identity operator，也就是 $P^2=1$ ， $\lambda_1 \lambda_2 =1$ ，这个你已经提过了；

2. P是Hermitian operator， $P^{\dagger} = P$ ，所以 $\lambda_1 ^{\ast} = \lambda_1$ ，也就是说 $\lambda_1 \neq i$ 。简单的证明一下：

对于任意两个全同粒子， $P |\psi_i^{(1)} , \psi_j^{(2)} \rangle = |\psi_j^{(2)} , \psi_i^{(1)} \rangle$
通过的本征态计算Operator P 的矩阵元素值： $\langle k_i^{(1)} , k_j^{(2)} | P | k_m^{(1)} , k_n^{(2)} \rangle = \delta_{i,m} \delta_{j,n} = }= \langle k_i^{(1)} , k_j^{(2)} | P^{\dagger} | k_m^{(1)} , k_n^{(2)} \rangle$
所以 $P^{\dagger} = P$

3. 根据2和1可以推导出P是Unitary operator，即 $P^{\dagger} P=1$

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13楼2016-06-21 14:15:58

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huangstate

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【答案】应助回帖

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有一个说法,就是3维空间只存在两种统计,而2维空间可以有任意统计,也就是任意子,就是交换两次\lambda是复数。具体是交换一次，相当于一个粒子绕另一个转半圈，交换两次相当于绕一圈。注意到在3维空间一维圆环可以缩到一点，波函数不应该有变化（可以理解为延轨道是解析的）所以为1。而2维这种情况办不到，这个是拓扑非平庸的。

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3楼2016-06-21 12:31:40

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哈哈笑泥

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【答案】应助回帖

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波函数的模差个常数，当然令其为±1啊！
全同性这一假设高于薛定谔方程！

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2楼2016-06-21 12:11:48

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golddoushi

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2楼: Originally posted by 哈哈笑泥 at 2016-06-21 12:11:48
波函数的模差个常数，当然令其为±1啊！
全同性这一假设高于薛定谔方程！

波函数的模差一个常数，只能说明，这个常数的模为1吧。
取常数为 ±1 确实可以，但是等于 i 为啥就不行呢

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4楼2016-06-21 12:51:18

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golddoushi

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3楼: Originally posted by huangstate at 2016-06-21 12:31:40
有一个说法,就是3维空间只存在两种统计,而2维空间可以有任意统计,也就是任意子,就是交换两次\lambda是复数。具体是交换一次，相当于一个粒子绕另一个转半圈，交换两次相当于绕一圈。注意到在3维空间一维圆环可以缩到 ...

感谢讨论
您的意思是三维空间中，交换两次可以还原。这个我认同，但是逻辑上似乎只能推导出，交换两次，产生的两个额外系数乘积为1，λ1λ2=1

我的问题是，两次交换导致的额外系数，λ1，λ2，为什么一定要相等？
若λ1=i， λ2 = -i 也可以满足 λ1λ2=1 的要求啊

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5楼2016-06-21 12:55:21

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