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tigou木虫 (正式写手)
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在集合论中引入这个新的公理是否合适？
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与无限集基数有关的问题，通常都是异常复杂的。例如连续统假设，在ZFC中既无法证明，也无法推翻。这就引发了一类新的问题，能否在集合论中引入一些新的公理，以获得一些新的结论。 根据化变以及派生映射的定义，可以得到如下定理： 派生单射定理：如果 推论1：设 考虑推论1的逆命题，如果存在从 |
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2楼2016-02-11 07:03:56
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3楼2016-02-11 11:14:28
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4楼2016-02-11 11:15:39
tigou
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1楼的结束部分就是应用。用文字叙述即，任给两个无限集，两者等势是两者的冥集等势的充要条件。这个命题是广义连续统假设的必要条件，但非充分条件。该命题在ZFC框架内无法证明也无法推翻，不信的可尝试找出证明或反例。但引入新公理后即可证明。换句话说，新公理刻画了无限集与其幂集之间的一种联系，只要两个无限集的幂集之间存在双射，则他们本身之间也必然存在双射。幂集之间的双射可能是混乱的，例如A的某个有限子集对应着B的无限子集，新公理可使混乱的对应整洁化，使一元子集对应一元子集，二元子集对应二元子集，概言之，使任意的具有对应关系的子集的基数相等。 发自小木虫Android客户端 |
5楼2016-02-11 15:11:42
tigou
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6楼2016-02-11 15:42:52
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选择公理也可用化变的元映射进行表示。 任给非空集A和B，若元映射 满足 则存在映射 满足 用化变的视角不难看出，连续统假设和选择公理有一个共同的特点，即与无限集的幂集紧密相关。并且都试图通过与幂集相关的某些性质找出与原集相关的性质。本帖建议的新公理也体现着同样的努力方向。我的感触是，利用派生映射、化变等概念，可以方便地从给定集合的相关性质出发，找到其幂集的对应性质；但反过来的过程则要复杂得多，需要引入若干新的公理才能进行逆推。 例如，如果甲乙两个集合等式，则它们的幂集也等势。这个结论可轻松证明，但反过来，如果甲乙两个集合的幂集等势，则甲乙两个集合本身是否也等势？这个命题却难得要命，可能在ZF和ZFC中都无解，并且与连续统假设密切相关（但并无等价）。更重要的是，这个命题在直觉上是正确的，其正确性比选择公理和连续统假设更直观。 还有一个更简洁的命题可导出选择公理： 任给非空集A，存在映射 |
7楼2016-02-16 15:01:39
8楼2016-02-16 17:50:08
tigou
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9楼2016-02-16 18:56:51
40