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tigou

木虫 (正式写手)

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专业: 数论

[求助] 在集合论中引入这个新的公理是否合适？

与无限集基数有关的问题，通常都是异常复杂的。例如连续统假设，在ZFC中既无法证明，也无法推翻。这就引发了一类新的问题，能否在集合论中引入一些新的公理，以获得一些新的结论。

根据化变以及派生映射的定义，可以得到如下定理：

派生单射定理：如果 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的单射，则 $\bar{f}^{\cup}$ 是从 $2^A$ 到 $2^B$ 的单射。

推论1：设 $A$ 和 $B$ 是两个无限集， $\mathbb{A}$ 和 $\mathbb{B}$ 分别是其无限子集簇（所有无限子集构成的集合）。如果存在从 $A$ 到 $B$ 的单射，则存在从 $\mathbb{A}$ 到 $\mathbb{B}$ 的单射。

考虑推论1的逆命题，如果存在从 $\mathbb{A}$ 到 $\mathbb{B}$ 的单射，则存在从 $A$ 到 $B$ 的单射。这个命题在直观上是正确的，但无法在ZFC框架内证明或推翻（至少我证明不了，并且未发现有文献研究过该问题）。因此，建议把这个命题作为一个新的公理引入集合论。一旦引入这个新的公理，我们就可得到另一个符合直观的结论：

$|A|=|B|\Leftrightarrow|2^A|=|2^B|$