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tigou

木虫 (正式写手)

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[求助] 在集合论中引入这个新的公理是否合适？

与无限集基数有关的问题，通常都是异常复杂的。例如连续统假设，在ZFC中既无法证明，也无法推翻。这就引发了一类新的问题，能否在集合论中引入一些新的公理，以获得一些新的结论。

根据化变以及派生映射的定义，可以得到如下定理：

派生单射定理：如果 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的单射，则 $\bar{f}^{\cup}$ 是从 $2^A$ 到 $2^B$ 的单射。

推论1：设 $A$ 和 $B$ 是两个无限集， $\mathbb{A}$ 和 $\mathbb{B}$ 分别是其无限子集簇（所有无限子集构成的集合）。如果存在从 $A$ 到 $B$ 的单射，则存在从 $\mathbb{A}$ 到 $\mathbb{B}$ 的单射。

考虑推论1的逆命题，如果存在从 $\mathbb{A}$ 到 $\mathbb{B}$ 的单射，则存在从 $A$ 到 $B$ 的单射。这个命题在直观上是正确的，但无法在ZFC框架内证明或推翻（至少我证明不了，并且未发现有文献研究过该问题）。因此，建议把这个命题作为一个新的公理引入集合论。一旦引入这个新的公理，我们就可得到另一个符合直观的结论：

$|A|=|B|\Leftrightarrow|2^A|=|2^B|$

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1楼 2016-02-10 11:58:24

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tigou

木虫 (正式写手)

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引用回帖:

6楼: Originally posted by tigou at 2016-02-11 15:42:52
用相对标准的语言表述:
设A和B是两个无限集，P(A)和P(B)分别是其幂集，只要P(A)和P
(B)等势，则必存在从P(A)到P(B)的双射f，使得
\forall x\in P(A)...

选择公理也可用化变的元映射进行表示。

任给非空集A和B，若元映射
$f:A\to 2^B$
满足
$\forall x\in A[f(x)\ne\emptyset]~.$
则存在映射
$g:A\to B$
满足
$\forall x\in A[ g(x)\in f(x)]~.$

用化变的视角不难看出，连续统假设和选择公理有一个共同的特点，即与无限集的幂集紧密相关。并且都试图通过与幂集相关的某些性质找出与原集相关的性质。本帖建议的新公理也体现着同样的努力方向。我的感触是，利用派生映射、化变等概念，可以方便地从给定集合的相关性质出发，找到其幂集的对应性质；但反过来的过程则要复杂得多，需要引入若干新的公理才能进行逆推。

例如，如果甲乙两个集合等式，则它们的幂集也等势。这个结论可轻松证明，但反过来，如果甲乙两个集合的幂集等势，则甲乙两个集合本身是否也等势？这个命题却难得要命，可能在ZF和ZFC中都无解，并且与连续统假设密切相关（但并无等价）。更重要的是，这个命题在直觉上是正确的，其正确性比选择公理和连续统假设更直观。

还有一个更简洁的命题可导出选择公理：

任给非空集A，存在映射
$f:2^A\to A~.$