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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 在集合论中引入这个新的公理是否合适？
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tigou

木虫 (正式写手)

[求助] 在集合论中引入这个新的公理是否合适？

与无限集基数有关的问题，通常都是异常复杂的。例如连续统假设，在ZFC中既无法证明，也无法推翻。这就引发了一类新的问题，能否在集合论中引入一些新的公理，以获得一些新的结论。

根据化变以及派生映射的定义，可以得到如下定理：

派生单射定理：如果是从到的单射，则是从到的单射。

推论1：设和是两个无限集，和分别是其无限子集簇（所有无限子集构成的集合）。如果存在从到的单射，则存在从到的单射。

考虑推论1的逆命题，如果存在从到的单射，则存在从到的单射。这个命题在直观上是正确的，但无法在ZFC框架内证明或推翻（至少我证明不了，并且未发现有文献研究过该问题）。因此，建议把这个命题作为一个新的公理引入集合论。一旦引入这个新的公理，我们就可得到另一个符合直观的结论：
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0/0的意义是所有数的集合
1楼 2016-02-10 11:58:24
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by tigou at 2016-02-11 15:42:52
用相对标准的语言表述:
设A和B是两个无限集，P(A)和P(B)分别是其幂集，只要P(A)和P
(B)等势，则必存在从P(A)到P(B)的双射f，使得
\forall x\in P(A)...

选择公理也可用化变的元映射进行表示。

任给非空集A和B，若元映射

满足

则存在映射

满足


用化变的视角不难看出，连续统假设和选择公理有一个共同的特点，即与无限集的幂集紧密相关。并且都试图通过与幂集相关的某些性质找出与原集相关的性质。本帖建议的新公理也体现着同样的努力方向。我的感触是，利用派生映射、化变等概念，可以方便地从给定集合的相关性质出发，找到其幂集的对应性质；但反过来的过程则要复杂得多，需要引入若干新的公理才能进行逆推。

例如，如果甲乙两个集合等式，则它们的幂集也等势。这个结论可轻松证明，但反过来，如果甲乙两个集合的幂集等势，则甲乙两个集合本身是否也等势？这个命题却难得要命，可能在ZF和ZFC中都无解，并且与连续统假设密切相关（但并无等价）。更重要的是，这个命题在直觉上是正确的，其正确性比选择公理和连续统假设更直观。

还有一个更简洁的命题可导出选择公理：

任给非空集A，存在映射
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0/0的意义是所有数的集合
7楼2016-02-16 15:01:39
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shabaolin

铜虫 (著名写手)
路过，感觉是民科！

发自小木虫Android客户端
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2楼2016-02-11 07:03:56
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maojun1998

银虫 (正式写手)
引入这个公理有什么作用吗？

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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wirmüssenwissen.wirwerdeneswissen.
3楼2016-02-11 11:14:28
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maojun1998

银虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by shabaolin at 2016-02-11 07:03:56
路过，感觉是民科！

你是没看见民科吧的三江方士……

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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wirmüssenwissen.wirwerdeneswissen.
4楼2016-02-11 11:15:39
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