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tigou

木虫 (正式写手)

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[求助] 在集合论中引入这个新的公理是否合适？

与无限集基数有关的问题，通常都是异常复杂的。例如连续统假设，在ZFC中既无法证明，也无法推翻。这就引发了一类新的问题，能否在集合论中引入一些新的公理，以获得一些新的结论。

根据化变以及派生映射的定义，可以得到如下定理：

派生单射定理：如果 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的单射，则 $\bar{f}^{\cup}$ 是从 $2^A$ 到 $2^B$ 的单射。

推论1：设 $A$ 和 $B$ 是两个无限集， $\mathbb{A}$ 和 $\mathbb{B}$ 分别是其无限子集簇（所有无限子集构成的集合）。如果存在从 $A$ 到 $B$ 的单射，则存在从 $\mathbb{A}$ 到 $\mathbb{B}$ 的单射。

考虑推论1的逆命题，如果存在从 $\mathbb{A}$ 到 $\mathbb{B}$ 的单射，则存在从 $A$ 到 $B$ 的单射。这个命题在直观上是正确的，但无法在ZFC框架内证明或推翻（至少我证明不了，并且未发现有文献研究过该问题）。因此，建议把这个命题作为一个新的公理引入集合论。一旦引入这个新的公理，我们就可得到另一个符合直观的结论：

$|A|=|B|\Leftrightarrow|2^A|=|2^B|$

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0/0的意义是所有数的集合

1楼 2016-02-10 11:58:24

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tigou

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引用回帖:

5楼: Originally posted by tigou at 2016-02-11 15:11:42
1楼的结束部分就是应用。用文字叙述即，任给两个无限集，两者等势是两者的冥集等势的充要条件。这个命题是广义连续统假设的必要条件，但非充分条件。该命题在ZFC框架内无法证明也无法推翻，不信的可尝试找出证明或 ...

用相对标准的语言表述:
设A和B是两个无限集，P(A)和P(B)分别是其幂集，只要P(A)和P
(B)等势，则必存在从P(A)到P(B)的双射f，使得
$\forall x\in P(A)[|x|=|f(x)|]$