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tigou

木虫 (正式写手)

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[求助] 在集合论中引入这个新的公理是否合适？

与无限集基数有关的问题，通常都是异常复杂的。例如连续统假设，在ZFC中既无法证明，也无法推翻。这就引发了一类新的问题，能否在集合论中引入一些新的公理，以获得一些新的结论。

根据化变以及派生映射的定义，可以得到如下定理：

派生单射定理：如果 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的单射，则 $\bar{f}^{\cup}$ 是从 $2^A$ 到 $2^B$ 的单射。

推论1：设 $A$ 和 $B$ 是两个无限集， $\mathbb{A}$ 和 $\mathbb{B}$ 分别是其无限子集簇（所有无限子集构成的集合）。如果存在从 $A$ 到 $B$ 的单射，则存在从 $\mathbb{A}$ 到 $\mathbb{B}$ 的单射。

考虑推论1的逆命题，如果存在从 $\mathbb{A}$ 到 $\mathbb{B}$ 的单射，则存在从 $A$ 到 $B$ 的单射。这个命题在直观上是正确的，但无法在ZFC框架内证明或推翻（至少我证明不了，并且未发现有文献研究过该问题）。因此，建议把这个命题作为一个新的公理引入集合论。一旦引入这个新的公理，我们就可得到另一个符合直观的结论：

$|A|=|B|\Leftrightarrow|2^A|=|2^B|$

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0/0的意义是所有数的集合

1楼 2016-02-10 11:58:24

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tigou

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引用回帖:

3楼: Originally posted by maojun1998 at 2016-02-11 11:14:28
引入这个公理有什么作用吗？

1楼的结束部分就是应用。用文字叙述即，任给两个无限集，两者等势是两者的冥集等势的充要条件。这个命题是广义连续统假设的必要条件，但非充分条件。该命题在ZFC框架内无法证明也无法推翻，不信的可尝试找出证明或反例。但引入新公理后即可证明。换句话说，新公理刻画了无限集与其幂集之间的一种联系，只要两个无限集的幂集之间存在双射，则他们本身之间也必然存在双射。幂集之间的双射可能是混乱的，例如A的某个有限子集对应着B的无限子集，新公理可使混乱的对应整洁化，使一元子集对应一元子集，二元子集对应二元子集，概言之，使任意的具有对应关系的子集的基数相等。

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