应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜    

小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 求函数u(x,y)
101/1返回列表
查看: 1476  |  回复: 9
只看楼主 @他人 存档 新回复提醒 (忽略) 收藏    在APP中查看

--power

金虫 (小有名气)

[求助] 求函数u(x,y) 已有1人参与

如题：
已知有连续二阶偏导数，且满足求。
麻烦各位高手帮忙解答一下，谢谢了！
回复此楼

» 猜你喜欢
1楼 2015-11-06 11:12:45
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
做变换


求二阶偏导后代入原方程就得到：


这是二阶变系数线性非齐次常微分方程，楼主自己解一下吧。
赞一下(3人) 回复此楼
青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
2楼2015-11-06 11:38:04
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
用常数变异法解方程：


得到其通解为：
赞一下(3人) 回复此楼
青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
3楼2015-11-06 11:48:38
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
--power: 金币+10, ★★★很有帮助 2015-11-06 15:40:37
令ξ=sqrt(x^2+y^2)
已知u(x,y)=u[sqrt(x^2+y^2)]=u(ξ)
利用复何求偏导法则，得到：
P^2u/Px^2=1/ξ*du/dξ+[1/ξ*d^2u/dξ^2-1/ξ^2*du/dξ]*x^2/ξ
P^2u/Py^2=1/ξ*du/dξ+[1/ξ*d^2u/dξ^2-1/ξ^2*du/dξ]*y^2/ξ
代入原方程中得到：
2/ξ*du/dξ+[1/ξ*d^2u/dξ^2-1/ξ^2*du/dξ]*[x^2+y^2]/ξ=x^2+y^2
即：
2/ξ*du/dξ+[1/ξ*d^2u/dξ^2-1/ξ^2*du/dξ*ξ^2/ξ=ξ^2
d^2u/dξ^2+1/ξ*du/dξ=ξ^2
故：du/dξ=2*C/ξ + 1/4*ξ^3
u(ξ)=2*C*Lnξ+1/16*ξ^4+D
即u(x,y)=C*Ln[x^2+y^2]+1/16*[x^2+y^2]^2+D
经验算，所求的函数确实是方程的解。
赞一下(1人) 回复此楼
4楼2015-11-06 15:23:36
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

--power

金虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-11-06 11:38:04
做变换
\left\{\begin{array}{l}x=r\cos t\\y=r\sin t\end{array}\right.
求二阶偏导后代入原方程就得到：
\frac{d^2u}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{du}{dr}=r^2
这是二阶变系数线性非齐次常微分方程，楼主自己解一 ...

好的，谢谢你了，我发现我把数理方法又还给老师了，还得再补一下课
赞一下 回复此楼
5楼2015-11-06 15:40:02
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

--power

金虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by peterflyer at 2015-11-06 15:23:36
令ξ=sqrt(x^2+y^2)
已知u(x,y)=u=u(ξ)
利用复何求偏导法则，得到：
P^2u/Px^2=1/ξ*du/dξ+*x^2/ξ
P^2u/Py^2=1/ξ*du/dξ+*y^2/ξ
代入原方程中得到：
2/ξ*du/dξ+*/ξ=x^2+y^2
即：
2/ξ*du/dξ+[1/ξ ...

谢谢楼上帮忙解答。为了别人能看的更方便，我擅自把楼上信息用latex改写一下，还希望不要介意哈
令
已知
利用复何求偏导法则，得到：


代入原方程中得到：

即：


故：

即
经验算，所求的函数确实是方程的解。
赞一下 回复此楼
6楼2015-11-06 15:55:55
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

--power

金虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by --power at 2015-11-06 15:55:55
谢谢楼上帮忙解答。为了别人能看的更方便，我擅自把楼上信息用latex改写一下，还希望不要介意哈
令\xi=\sqrt{x^2+y^2}
已知u(x,y)=u=u(\xi)
利用复何求偏导法则，得到：
\partial^2u/\partial x^2=1/\xi*du/ ...

小木虫不能预览，很麻烦
令
已知
利用复何求偏导法则，得到：  


代入原方程中得到：  

即：  


故：

即
经验算，所求的函数确实是方程的解。
赞一下 回复此楼
7楼2015-11-06 16:40:38
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
6楼: Originally posted by --power at 2015-11-06 15:55:55
谢谢楼上帮忙解答。为了别人能看的更方便，我擅自把楼上信息用latex改写一下，还希望不要介意哈
令\xi=\sqrt{x^2+y^2}
已知u(x,y)=u=u(\xi)
利用复何求偏导法则，得到：
\partial^2u/\partial x^2=1/\xi*du/ ...

楼主书写的就是我的意思，而且更清晰，更容易阅读。谢谢！
赞一下 回复此楼
8楼2015-11-06 17:24:10
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
补充：为更容易楼主理解，再将求解过程进行一下说明：得到的二阶常微分方程中，先令V=du/dξ, 则二阶方程转换为一阶线性方程，套用求解公式得到du/dξ，然后继续对ξ进行积分得到u(ξ)。再将ξ=sqrt(x^2+y^2)代入并化简后即得最后的解的形式。经验算可知，求解结果是正确的。
赞一下(1人) 回复此楼
9楼2015-11-06 17:29:40
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

--power

金虫 (小有名气)
引用回帖:
9楼: Originally posted by peterflyer at 2015-11-06 17:29:40
补充：为更容易楼主理解，再将求解过程进行一下说明：得到的二阶常微分方程中，先令V=du/dξ, 则二阶方程转换为一阶线性方程，套用求解公式得到du/dξ，然后继续对ξ进行积分得到u(ξ)。再将ξ=sqrt(x^2+y^2)代入并 ...

谢谢你
回复此楼
10楼2015-11-06 18:18:15
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
相关版块跳转 我要订阅楼主 --power 的主题更新
101/1返回列表
普通表情 龙 兔 虎 猫
最具人气热帖推荐 [查看全部] 作者 回/看 最后发表
[基金申请] 有没有仍没收到信息的 +6 德尚中行 2026-08-27 7/350 2026-08-30 12:53 by Bxndjjd
[公派出国] 售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O54,科目全,可伽急 +5 gy1nBQXYQJqL 2026-08-29 8/400 2026-08-30 12:02 by l0VvVHGBGRLv
[公派出国] 售SCI文章，我:8O.5.5.1O.54,科目全,可十急 +6 ASdOkHsho7FD 2026-08-28 8/400 2026-08-30 11:32 by l0VvVHGBGRLv
[基金申请] 面上意见出来了 +9 黄鸟于飞Chao 2026-08-29 17/850 2026-08-30 10:28 by 孤独的英雄6
[基金申请] 我就是申请一个面上项目而已，这评审意见是按照杰青的条件评的吧？ +6 gouxfjh 2026-08-28 11/550 2026-08-30 07:57 by gouxfjh
[硕博家园] 售SCI一区T0P文章，我:8O.55.1.O.54,科目全,可伽急 +3 G6APbkg8SA6w 2026-08-29 4/200 2026-08-30 07:17 by ZPa0EcMwuECS
[考研] 售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可+急 +3 gy1nBQXYQJqL 2026-08-29 4/200 2026-08-30 06:57 by ZPa0EcMwuECS
[硕博家园] 售SCI文章，我:8O.5.5.1O.54,科目全,可十急 +4 gy1nBQXYQJqL 2026-08-29 5/250 2026-08-30 06:55 by ZPa0EcMwuECS
[考博] 售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O54,科目全,可伽急 +6 ASdOkHsho7FD 2026-08-28 10/500 2026-08-30 06:11 by ZPa0EcMwuECS
[考博] 售SCI-T0P文章，我:8O.5.5.1.O.54,科目齐全,可+急 +3 gy1nBQXYQJqL 2026-08-29 4/200 2026-08-30 01:34 by ZPa0EcMwuECS
[基金申请] 为什么资助数各大高校都创新高，自己申请怎么就这么难 +12 Kittylucky 2026-08-27 13/650 2026-08-29 00:04 by superceng
[基金申请] 基金系统什么内容也没有 30+4 winsaint 2026-08-27 9/450 2026-08-28 11:06 by maolC
[基金申请] 我不理解！ +15 Edward_pc 2026-08-26 23/1150 2026-08-26 20:34 by zzuzxg
[基金申请] 2026年8月25日国自然放榜前突然收到列入评审专家邮件，有关系吗？ +25 木水思豆 2026-08-25 28/1400 2026-08-26 14:53 by draco1987
[基金申请] 出来了 +9 trojank 2026-08-26 9/450 2026-08-26 14:25 by 宝贝虫子
[基金申请] 系统进不去 +4 yanglien 2026-08-26 5/250 2026-08-26 11:10 by wenfengw83
[基金申请] 国合现在查不到了吗？ +10 chengyan1220 2026-08-24 20/1000 2026-08-26 08:57 by peasantsprig
[基金申请] 牛来！米来！面来！ +8 beefly 2026-08-26 8/400 2026-08-26 08:37 by xuzhipiao
[基金申请] 在坚冰还盖着北海的时候，我看到了怒放的梅花。 (金币+10) +6 ziyangfang 2026-08-25 9/450 2026-08-25 20:26 by huagongfeihu
[基金申请] 如果此刻你正在为国基感到焦虑，不妨来听听这首《基金之外》 +8 scalable 2026-08-24 8/400 2026-08-25 12:52 by jnhyjjm
信息提示
关闭
请填处理意见
关闭