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--power

金虫 (小有名气)

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[求助] 求函数u(x,y) 已有1人参与

如题：
已知 $u=u(\sqrt{x^2+y^2})$ 有连续二阶偏导数，且满足 $\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=x^2+y^2$ 求 $u(x,y)$ 。
麻烦各位高手帮忙解答一下，谢谢了！

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1楼 2015-11-06 11:12:45

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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

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【答案】应助回帖

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感谢参与，应助指数 +1
--power: 金币+10, ★★★很有帮助 2015-11-06 15:40:37

令ξ=sqrt(x^2+y^2)
已知u(x,y)=u[sqrt(x^2+y^2)]=u(ξ)
利用复何求偏导法则，得到：
P^2u/Px^2=1/ξ*du/dξ+[1/ξ*d^2u/dξ^2-1/ξ^2*du/dξ]*x^2/ξ
P^2u/Py^2=1/ξ*du/dξ+[1/ξ*d^2u/dξ^2-1/ξ^2*du/dξ]*y^2/ξ
代入原方程中得到：
2/ξ*du/dξ+[1/ξ*d^2u/dξ^2-1/ξ^2*du/dξ]*[x^2+y^2]/ξ=x^2+y^2
即：
2/ξ*du/dξ+[1/ξ*d^2u/dξ^2-1/ξ^2*du/dξ*ξ^2/ξ=ξ^2
d^2u/dξ^2+1/ξ*du/dξ=ξ^2
故：du/dξ=2*C/ξ + 1/4*ξ^3
u(ξ)=2*C*Lnξ+1/16*ξ^4+D
即u(x,y)=C*Ln[x^2+y^2]+1/16*[x^2+y^2]^2+D
经验算，所求的函数确实是方程的解。