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求函数u(x,y) 已有1人参与
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peterflyer 
木虫之王 (文学泰斗)
peterflyer
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【答案】应助回帖
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感谢参与，应助指数 +1
--power: 金币+10, ★★★很有帮助 2015-11-06 15:40:37
感谢参与，应助指数 +1
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令ξ=sqrt(x^2+y^2) 已知u(x,y)=u[sqrt(x^2+y^2)]=u(ξ) 利用复何求偏导法则，得到： P^2u/Px^2=1/ξ*du/dξ+[1/ξ*d^2u/dξ^2-1/ξ^2*du/dξ]*x^2/ξ P^2u/Py^2=1/ξ*du/dξ+[1/ξ*d^2u/dξ^2-1/ξ^2*du/dξ]*y^2/ξ 代入原方程中得到： 2/ξ*du/dξ+[1/ξ*d^2u/dξ^2-1/ξ^2*du/dξ]*[x^2+y^2]/ξ=x^2+y^2 即： 2/ξ*du/dξ+[1/ξ*d^2u/dξ^2-1/ξ^2*du/dξ*ξ^2/ξ=ξ^2 d^2u/dξ^2+1/ξ*du/dξ=ξ^2 故：du/dξ=2*C/ξ + 1/4*ξ^3 u(ξ)=2*C*Lnξ+1/16*ξ^4+D 即u(x,y)=C*Ln[x^2+y^2]+1/16*[x^2+y^2]^2+D 经验算，所求的函数确实是方程的解。 |
4楼2015-11-06 15:23:36
Edstrayer
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2楼2015-11-06 11:38:04
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3楼2015-11-06 11:48:38
5楼2015-11-06 15:40:02
20
