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[求助] 求函数u(x,y) 已有1人参与

如题：
已知 $u=u(\sqrt{x^2+y^2})$ 有连续二阶偏导数，且满足 $\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=x^2+y^2$ 求 $u(x,y)$ 。
麻烦各位高手帮忙解答一下，谢谢了！

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1楼 2015-11-06 11:12:45

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Edstrayer

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做变换

$\left\{\begin{array}{l}x=r\cos t\\y=r\sin t\end{array}\right.$

求二阶偏导后代入原方程就得到：

$\frac{d^2u}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{du}{dr}=r^2$

这是二阶变系数线性非齐次常微分方程，楼主自己解一下吧。

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2015-11-06 11:38:04

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Edstrayer

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用常数变异法解方程：

$\frac{d^2u}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{du}{dr}=r^2$

得到其通解为：

$u=u(r)=\frac{1}{16}r^4+C_1\ln r+C_2$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

3楼2015-11-06 11:48:38

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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
--power: 金币+10, ★★★很有帮助 2015-11-06 15:40:37

令ξ=sqrt(x^2+y^2)
已知u(x,y)=u[sqrt(x^2+y^2)]=u(ξ)
利用复何求偏导法则，得到：
P^2u/Px^2=1/ξ*du/dξ+[1/ξ*d^2u/dξ^2-1/ξ^2*du/dξ]*x^2/ξ
P^2u/Py^2=1/ξ*du/dξ+[1/ξ*d^2u/dξ^2-1/ξ^2*du/dξ]*y^2/ξ
代入原方程中得到：
2/ξ*du/dξ+[1/ξ*d^2u/dξ^2-1/ξ^2*du/dξ]*[x^2+y^2]/ξ=x^2+y^2
即：
2/ξ*du/dξ+[1/ξ*d^2u/dξ^2-1/ξ^2*du/dξ*ξ^2/ξ=ξ^2
d^2u/dξ^2+1/ξ*du/dξ=ξ^2
故：du/dξ=2*C/ξ + 1/4*ξ^3
u(ξ)=2*C*Lnξ+1/16*ξ^4+D
即u(x,y)=C*Ln[x^2+y^2]+1/16*[x^2+y^2]^2+D
经验算，所求的函数确实是方程的解。

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4楼2015-11-06 15:23:36

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2楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-11-06 11:38:04
做变换
\left\{\begin{array}{l}x=r\cos t\\y=r\sin t\end{array}\right.
求二阶偏导后代入原方程就得到：
\frac{d^2u}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{du}{dr}=r^2
这是二阶变系数线性非齐次常微分方程，楼主自己解一 ...

好的，谢谢你了，我发现我把数理方法又还给老师了，还得再补一下课

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5楼2015-11-06 15:40:02

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4楼: Originally posted by peterflyer at 2015-11-06 15:23:36
令ξ=sqrt(x^2+y^2)
已知u(x,y)=u=u(ξ)
利用复何求偏导法则，得到：
P^2u/Px^2=1/ξ*du/dξ+*x^2/ξ
P^2u/Py^2=1/ξ*du/dξ+*y^2/ξ
代入原方程中得到：
2/ξ*du/dξ+*/ξ=x^2+y^2
即：
2/ξ*du/dξ+[1/ξ ...

谢谢楼上帮忙解答。为了别人能看的更方便，我擅自把楼上信息用latex改写一下，还希望不要介意哈

令 $\xi=\sqrt{x^2+y^2}$
已知 $u(x,y)=u=u(\xi)$
利用复何求偏导法则，得到：
$\partial^2u/\partial x^2=1/\xi*du/d\xi+*x^2/\xi$
$\partial^2u/\partial y^2=1/\xi*du/d\xi+*y^2/\xi$
代入原方程中得到：
$2/\xi*du/d\xi+*/\xi=x^2+y^2$
即：
$2/\xi*du/d\xi+[1/\xi*d^2u/d\xi^2-1/\xi^2*du/d\xi*\xi^2/\xi=\xi^2$
$d^2u/d\xi^2+1/\xi*du/d\xi=\xi^2$
故： $du/d\xi=2*C/\xi + 1/4*\xi^3$
$u(\xi)=2*C*ln\xi+1/16*\xi^4+D$
即 $u(x,y)=C*ln[x^2+y^2]+1/16*[x^2+y^2]^2+D$
经验算，所求的函数确实是方程的解。

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6楼2015-11-06 15:55:55

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6楼: Originally posted by --power at 2015-11-06 15:55:55
谢谢楼上帮忙解答。为了别人能看的更方便，我擅自把楼上信息用latex改写一下，还希望不要介意哈

令\xi=\sqrt{x^2+y^2}
已知u(x,y)=u=u(\xi)
利用复何求偏导法则，得到：
\partial^2u/\partial x^2=1/\xi*du/ ...

小木虫不能预览，很麻烦
令 $\xi=\sqrt{x^2+y^2}$
已知 $u(x,y)=u(\sqrt{x^2+y^2})=u(\xi)$
利用复何求偏导法则，得到：
$\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}=\frac{1}{\xi}\frac{du}{d\xi}+(\frac{1}{\xi}\frac{d^2u}{d\xi^2}-\frac{1}{\xi^2}\frac{du}{d\xi})\frac{x^2}{\xi}$
$\frac{\partial ^2u}{\partial y^2}=\frac{1}{\xi}\frac{du}{d\xi}+(\frac{1}{\xi}\frac{d^2u}{d\xi^2}-\frac{1}{\xi^2}\frac{du}{d\xi})\frac{y^2}{\xi}$
代入原方程中得到：
$\frac{2}{\xi}\frac{du}{d\xi}+(\frac{1}{\xi}\frac{d^2u}{d\xi^2}-\frac{1}{\xi^2}\frac{du}{d\xi})\frac{(x^2+y^2)}{\xi}=x^2+y^2$
即：
$\frac{2}{\xi}\frac{du}{d\xi}+(\frac{1}{\xi}\frac{d^2u}{d\xi^2}-\frac{1}{\xi^2}\frac{du}{d\xi})\frac{\xi^2}{\xi}=\xi^2$
$\frac{d^2u}{d\xi^2}+\frac{1}{\xi}\frac{du}{d\xi}=\xi^2$
故： $\frac{du}{d\xi}=\frac{2*C}{\xi} + \frac{1}{4}\xi^3$
$u(\xi)=2Cln\xi+\frac{1}{16}\xi^4+D$
即 $u(x,y)=2Cln(x^2+y^2)+\frac{1}{16}(x^2+y^2)^2+D$
经验算，所求的函数确实是方程的解。

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7楼2015-11-06 16:40:38

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6楼: Originally posted by --power at 2015-11-06 15:55:55
谢谢楼上帮忙解答。为了别人能看的更方便，我擅自把楼上信息用latex改写一下，还希望不要介意哈

令\xi=\sqrt{x^2+y^2}
已知u(x,y)=u=u(\xi)
利用复何求偏导法则，得到：
\partial^2u/\partial x^2=1/\xi*du/ ...

楼主书写的就是我的意思，而且更清晰，更容易阅读。谢谢！

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8楼2015-11-06 17:24:10

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补充：为更容易楼主理解，再将求解过程进行一下说明：得到的二阶常微分方程中，先令V=du/dξ, 则二阶方程转换为一阶线性方程，套用求解公式得到du/dξ，然后继续对ξ进行积分得到u(ξ)。再将ξ=sqrt(x^2+y^2)代入并化简后即得最后的解的形式。经验算可知，求解结果是正确的。

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9楼2015-11-06 17:29:40

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9楼: Originally posted by peterflyer at 2015-11-06 17:29:40
补充：为更容易楼主理解，再将求解过程进行一下说明：得到的二阶常微分方程中，先令V=du/dξ, 则二阶方程转换为一阶线性方程，套用求解公式得到du/dξ，然后继续对ξ进行积分得到u(ξ)。再将ξ=sqrt(x^2+y^2)代入并 ...

谢谢你

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10楼2015-11-06 18:18:15

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