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--power

金虫 (小有名气)

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[求助] 求函数u(x,y) 已有1人参与

如题：
已知 $u=u(\sqrt{x^2+y^2})$ 有连续二阶偏导数，且满足 $\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=x^2+y^2$ 求 $u(x,y)$ 。
麻烦各位高手帮忙解答一下，谢谢了！

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1楼 2015-11-06 11:12:45

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--power

金虫 (小有名气)

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引用回帖:

6楼: Originally posted by --power at 2015-11-06 15:55:55
谢谢楼上帮忙解答。为了别人能看的更方便，我擅自把楼上信息用latex改写一下，还希望不要介意哈

令\xi=\sqrt{x^2+y^2}
已知u(x,y)=u=u(\xi)
利用复何求偏导法则，得到：
\partial^2u/\partial x^2=1/\xi*du/ ...

小木虫不能预览，很麻烦
令 $\xi=\sqrt{x^2+y^2}$
已知 $u(x,y)=u(\sqrt{x^2+y^2})=u(\xi)$
利用复何求偏导法则，得到：
$\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}=\frac{1}{\xi}\frac{du}{d\xi}+(\frac{1}{\xi}\frac{d^2u}{d\xi^2}-\frac{1}{\xi^2}\frac{du}{d\xi})\frac{x^2}{\xi}$
$\frac{\partial ^2u}{\partial y^2}=\frac{1}{\xi}\frac{du}{d\xi}+(\frac{1}{\xi}\frac{d^2u}{d\xi^2}-\frac{1}{\xi^2}\frac{du}{d\xi})\frac{y^2}{\xi}$
代入原方程中得到：
$\frac{2}{\xi}\frac{du}{d\xi}+(\frac{1}{\xi}\frac{d^2u}{d\xi^2}-\frac{1}{\xi^2}\frac{du}{d\xi})\frac{(x^2+y^2)}{\xi}=x^2+y^2$
即：
$\frac{2}{\xi}\frac{du}{d\xi}+(\frac{1}{\xi}\frac{d^2u}{d\xi^2}-\frac{1}{\xi^2}\frac{du}{d\xi})\frac{\xi^2}{\xi}=\xi^2$
$\frac{d^2u}{d\xi^2}+\frac{1}{\xi}\frac{du}{d\xi}=\xi^2$
故： $\frac{du}{d\xi}=\frac{2*C}{\xi} + \frac{1}{4}\xi^3$
$u(\xi)=2Cln\xi+\frac{1}{16}\xi^4+D$
即 $u(x,y)=2Cln(x^2+y^2)+\frac{1}{16}(x^2+y^2)^2+D$
经验算，所求的函数确实是方程的解。

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7楼2015-11-06 16:40:38

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Edstrayer

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做变换

$\left\{\begin{array}{l}x=r\cos t\\y=r\sin t\end{array}\right.$

求二阶偏导后代入原方程就得到：

$\frac{d^2u}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{du}{dr}=r^2$

这是二阶变系数线性非齐次常微分方程，楼主自己解一下吧。

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2015-11-06 11:38:04

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Edstrayer

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用常数变异法解方程：

$\frac{d^2u}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{du}{dr}=r^2$

得到其通解为：

$u=u(r)=\frac{1}{16}r^4+C_1\ln r+C_2$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

3楼2015-11-06 11:48:38

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peterflyer

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【答案】应助回帖

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感谢参与，应助指数 +1
--power: 金币+10, ★★★很有帮助 2015-11-06 15:40:37

令ξ=sqrt(x^2+y^2)
已知u(x,y)=u[sqrt(x^2+y^2)]=u(ξ)
利用复何求偏导法则，得到：
P^2u/Px^2=1/ξ*du/dξ+[1/ξ*d^2u/dξ^2-1/ξ^2*du/dξ]*x^2/ξ
P^2u/Py^2=1/ξ*du/dξ+[1/ξ*d^2u/dξ^2-1/ξ^2*du/dξ]*y^2/ξ
代入原方程中得到：
2/ξ*du/dξ+[1/ξ*d^2u/dξ^2-1/ξ^2*du/dξ]*[x^2+y^2]/ξ=x^2+y^2
即：
2/ξ*du/dξ+[1/ξ*d^2u/dξ^2-1/ξ^2*du/dξ*ξ^2/ξ=ξ^2
d^2u/dξ^2+1/ξ*du/dξ=ξ^2
故：du/dξ=2*C/ξ + 1/4*ξ^3
u(ξ)=2*C*Lnξ+1/16*ξ^4+D
即u(x,y)=C*Ln[x^2+y^2]+1/16*[x^2+y^2]^2+D
经验算，所求的函数确实是方程的解。

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4楼2015-11-06 15:23:36

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