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金虫 (小有名气)

[求助] 求函数u(x,y) 已有1人参与

如题：
已知 $u=u(\sqrt{x^2+y^2})$ 有连续二阶偏导数，且满足 $\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=x^2+y^2$ 求 $u(x,y)$ 。
麻烦各位高手帮忙解答一下，谢谢了！

1楼 2015-11-06 11:12:45

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版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

做变换

$\left\{\begin{array}{l}x=r\cos t\\y=r\sin t\end{array}\right.$

求二阶偏导后代入原方程就得到：

$\frac{d^2u}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{du}{dr}=r^2$

这是二阶变系数线性非齐次常微分方程，楼主自己解一下吧。

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2015-11-06 11:38:04

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版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

用常数变异法解方程：

$\frac{d^2u}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{du}{dr}=r^2$

得到其通解为：

$u=u(r)=\frac{1}{16}r^4+C_1\ln r+C_2$

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

3楼2015-11-06 11:48:38

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