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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 求函数u(x,y)
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--power

金虫 (小有名气)

[求助] 求函数u(x,y) 已有1人参与

如题：
已知有连续二阶偏导数，且满足求。
麻烦各位高手帮忙解答一下，谢谢了！
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1楼 2015-11-06 11:12:45
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
做变换


求二阶偏导后代入原方程就得到：


这是二阶变系数线性非齐次常微分方程，楼主自己解一下吧。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
2楼2015-11-06 11:38:04
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
用常数变异法解方程：


得到其通解为：
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
3楼2015-11-06 11:48:38
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
--power: 金币+10, ★★★很有帮助 2015-11-06 15:40:37
令ξ=sqrt(x^2+y^2)
已知u(x,y)=u[sqrt(x^2+y^2)]=u(ξ)
利用复何求偏导法则，得到：
P^2u/Px^2=1/ξ*du/dξ+[1/ξ*d^2u/dξ^2-1/ξ^2*du/dξ]*x^2/ξ
P^2u/Py^2=1/ξ*du/dξ+[1/ξ*d^2u/dξ^2-1/ξ^2*du/dξ]*y^2/ξ
代入原方程中得到：
2/ξ*du/dξ+[1/ξ*d^2u/dξ^2-1/ξ^2*du/dξ]*[x^2+y^2]/ξ=x^2+y^2
即：
2/ξ*du/dξ+[1/ξ*d^2u/dξ^2-1/ξ^2*du/dξ*ξ^2/ξ=ξ^2
d^2u/dξ^2+1/ξ*du/dξ=ξ^2
故：du/dξ=2*C/ξ + 1/4*ξ^3
u(ξ)=2*C*Lnξ+1/16*ξ^4+D
即u(x,y)=C*Ln[x^2+y^2]+1/16*[x^2+y^2]^2+D
经验算，所求的函数确实是方程的解。
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4楼2015-11-06 15:23:36
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--power

金虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-11-06 11:38:04
做变换
\left\{\begin{array}{l}x=r\cos t\\y=r\sin t\end{array}\right.
求二阶偏导后代入原方程就得到：
\frac{d^2u}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{du}{dr}=r^2
这是二阶变系数线性非齐次常微分方程，楼主自己解一 ...

好的，谢谢你了，我发现我把数理方法又还给老师了，还得再补一下课
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5楼2015-11-06 15:40:02
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--power

金虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by peterflyer at 2015-11-06 15:23:36
令ξ=sqrt(x^2+y^2)
已知u(x,y)=u=u(ξ)
利用复何求偏导法则，得到：
P^2u/Px^2=1/ξ*du/dξ+*x^2/ξ
P^2u/Py^2=1/ξ*du/dξ+*y^2/ξ
代入原方程中得到：
2/ξ*du/dξ+*/ξ=x^2+y^2
即：
2/ξ*du/dξ+[1/ξ ...

谢谢楼上帮忙解答。为了别人能看的更方便，我擅自把楼上信息用latex改写一下，还希望不要介意哈
令
已知
利用复何求偏导法则，得到：


代入原方程中得到：

即：


故：

即
经验算，所求的函数确实是方程的解。
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6楼2015-11-06 15:55:55
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--power

金虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by --power at 2015-11-06 15:55:55
谢谢楼上帮忙解答。为了别人能看的更方便，我擅自把楼上信息用latex改写一下，还希望不要介意哈
令\xi=\sqrt{x^2+y^2}
已知u(x,y)=u=u(\xi)
利用复何求偏导法则，得到：
\partial^2u/\partial x^2=1/\xi*du/ ...

小木虫不能预览，很麻烦
令
已知
利用复何求偏导法则，得到：  


代入原方程中得到：  

即：  


故：

即
经验算，所求的函数确实是方程的解。
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7楼2015-11-06 16:40:38
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
6楼: Originally posted by --power at 2015-11-06 15:55:55
谢谢楼上帮忙解答。为了别人能看的更方便，我擅自把楼上信息用latex改写一下，还希望不要介意哈
令\xi=\sqrt{x^2+y^2}
已知u(x,y)=u=u(\xi)
利用复何求偏导法则，得到：
\partial^2u/\partial x^2=1/\xi*du/ ...

楼主书写的就是我的意思，而且更清晰，更容易阅读。谢谢！
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8楼2015-11-06 17:24:10
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
补充：为更容易楼主理解，再将求解过程进行一下说明：得到的二阶常微分方程中，先令V=du/dξ, 则二阶方程转换为一阶线性方程，套用求解公式得到du/dξ，然后继续对ξ进行积分得到u(ξ)。再将ξ=sqrt(x^2+y^2)代入并化简后即得最后的解的形式。经验算可知，求解结果是正确的。
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9楼2015-11-06 17:29:40
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--power

金虫 (小有名气)
引用回帖:
9楼: Originally posted by peterflyer at 2015-11-06 17:29:40
补充：为更容易楼主理解，再将求解过程进行一下说明：得到的二阶常微分方程中，先令V=du/dξ, 则二阶方程转换为一阶线性方程，套用求解公式得到du/dξ，然后继续对ξ进行积分得到u(ξ)。再将ξ=sqrt(x^2+y^2)代入并 ...

谢谢你
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10楼2015-11-06 18:18:15
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