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tigou木虫 (正式写手)
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求数列的上下极限 已有2人参与
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设0<x<1, a_0=1, a_{n+1}=x^{a_n}(n为任意自然数). 求数列a_n的上下极限. 谢谢. |
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tigou
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14楼2015-09-16 12:59:56
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feixiaolin: 金币+8 2015-09-17 12:36:55
feixiaolin: 金币+8 2015-09-17 12:36:55
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(1)假如函数a^{a^x}-x在[0,1]上严格单调下降: (譬如,当a>e^{-e}= 0.065988...时, 在[0,1]上导函数a^{a^x+x}\ln^2{a}-1<0) 由于方程a^x=x在[0,1]上有唯一解C=C(a), 于是知道若x<C, (类似的,或者C<y), 则x<a^{a^x}<C<a^{a^{a^x}}<a^x, 因此序列围绕着C点,奇数项单调上升, 偶数项单调下降,上下极限均存在. 可是上下极限点必须是a^{a^x}=x的解, 因此极限点必然就是C. 总而言之, 在这种情况下, 序列振荡收敛于C, 其中C是满足a^x=x在[0,1]上的唯一解. (2) 当a<e^{-e}时, 可以知道,方程a^{a^x}=x在[0,1]上现在有三个解. 其中一个C满足a^C=C另外一对共轭解P,Q满足a^P=Q, a^Q=P, 于是P^P=Q^Q=a^{PQ}, 即a=e^{\frac{\ln{P}}{Q}}不妨设P<Q. 这时候,如果0<x<P (类似的,或1>y>Q), 则有 x< a^{a^x}<P <Q < a^{a^{a^x}}<a^x 即序列被区间[P,Q]隔断,两边跳, 序列振荡趋于下极限P和上极限Q. 如果P<x<Q, 首先由于P<a^x<Q , 序列完全被限制在区间[P,Q]内. 不妨设P<x<C, (类似的,或者C<y<Q), 则有 P< a^{a^x}<x <C <a^x< a^{a^{a^x}}<Q立刻知道,序列依然振荡趋于下极限P和上极限Q. 换句话说, 不动点x=C是排斥子(源),而P,Q共轭 点对是吸引子(汇). a=e^{-e}时,归到第一种情况, 收敛于极限点C=1/e. 所以, tigou的观察是完全正确的, 我楼上的贴子是错误百出的, 贻笑大方了, 虫友们请见谅. |
16楼2015-09-17 07:16:52
peterflyer 
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tigou
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谢谢参与。但excel似乎不同意您的说法： 0.01 0.954992586 0.012303108 0.944917265 0.012887405 0.942378112 0.013038985 0.941720513 0.013078531 0.941549024 0.013088864 0.941504223 0.013091565 0.941492513 0.013092271 0.941489452 0.013092455 0.941488652 0.013092503 0.941488443 0.013092516 0.941488388 0.013092519 0.941488374 0.01309252 0.94148837 0.01309252 0.941488369 0.01309252 0.941488369 0.013092521 0.941488369 0.013092521 |
4楼2015-09-14 09:02:51
tigou
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这个更有意思： 0.390504933 0.390504949 0.390504933 0.390504948 0.390504934 0.390504947 0.390504935 0.390504946 0.390504936 0.390504946 0.390504936 以上x=0.09，n=281至 291，眼看着上下限就要合并了，但一股神秘的力量使它们再也无法靠近半步。0.00000001的距离有多远？在这里就是永远。当然，这种现象有可能是浮点计算不精确的原因造成的，但也有可能的确存在上下限靠得很近但确实不同的情况。我甚至猜测：任给正数b（无论多么小），总存在x使a_n的上下极限不同而间距小于b。还有，在0.09和0.1之间似乎存在一个临界值，x大于该数则数列收敛，x小于该数则数列发散。有太多的迹象表明，广义乘是一座丰富的数学宝藏，早期探索者很容易遇到前所未见的奇珍异宝。 |
8楼2015-09-14 09:42:37
9楼2015-09-14 10:09:36
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