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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求数列的上下极限
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ddcy

捐助贵宾 (正式写手)
我不是数学专业的，而且我现在正在复习中学数学，你应该能估计出我的数学水平。“广义乘”我以前闻所未闻。我感觉楼主不是那种死读书，读死书的人，我觉得国内培养的学生像楼主这样的不多见。希尔伯特把科学家简单的分为两类人：解决过有价值的问题的和没有解决过有价值的问题的。楼主如果真在这个问题上挖掘出有价值的东西，我算是楼主早期思想的见证人，有一份荣光的，呵呵。

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11楼2015-09-16 09:28:35
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ddcy

捐助贵宾 (正式写手)
注意，希尔伯特不是说解决过问题还是没有解决过问题！

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12楼2015-09-16 09:30:20
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
10楼: Originally posted by tigou at 2015-09-16 08:00:32
确实有难度，一个人的思路太窄，所以提出来供大家参考。{a_n}具有良好的闭区间套性质，只不过区间长度不一定趋于0。针对这个数列，有可能总结出好几个新定理，并且为广义乘向实数集的扩张奠定基础。...

楼主想得太多啦。 其实，从你给出的数据，可以提炼出如下结论：

tigou定理：设0<x<1, (n为任意自然数).
那么， 序列 有且仅有两个聚点，记为A，B。它们满足
. 进一步地，  收敛当且仅当 （即A=B=1/e时).

欢迎大家写出证明。
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We_must_know. We_will_know.
13楼2015-09-16 11:08:11
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
13楼: Originally posted by hank612 at 2015-09-16 11:08:11
楼主想得太多啦。 其实，从你给出的数据，可以提炼出如下结论：

tigou定理：设0<x<1, a_0=1, a_{n+1}=x^{a_n}(n为任意自然数).
那么， 序列 a_n有且仅有两个聚点，记为A，B。它们满足
A^A=B^B, x=e^{\f ...

结论明显错误。已能初步确认（除非计算机的浮点运算引发了严重误差），数列收敛的临界值在0.09至0.1之间，大于临界值的都收敛，小于临界值的都发散，等于临界值是否收敛则不能确定。不过您的观点在大量的泥沙中也包含了一颗珍珠。欢迎继续思考并评论，有人挑刺 总比一个冥思苦想好。另，您对我上次终结出来的关于极限的新定理有什么看法？谢谢。
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0/0的意义是所有数的集合
14楼2015-09-16 12:59:56
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
14楼: Originally posted by tigou at 2015-09-16 12:59:56
结论明显错误。已能初步确认（除非计算机的浮点运算引发了严重误差），数列收敛的临界值在0.09至0.1之间，大于临界值的都收敛，小于临界值的都发散，等于临界值是否收敛则不能确定。不过您的观点在大量的泥沙中也包 ...

(1)假如函数 在[0,1]上严格单调下降: (譬如,当时, 在[0,1]上导函数)

由于方程在[0,1]上有唯一解C=C(a), 于是知道若x<C, (类似的,或者C<y),  则, 因此序列围绕着C点,奇数项单调上升, 偶数项单调下降,上下极限均存在. 可是上下极限点必须是的解, 因此极限点必然就是C.

总而言之, 在这种情况下, 序列振荡收敛于C, 其中C是满足在[0,1]上的唯一解.

(2) 当时, 可以知道,方程在[0,1]上有三个解. 其中一个C满足, 另外一对共轭解P,Q满足, 于是, 即

不妨设P<Q.
这时候,如果0<x<P (类似的,或1>y>Q), 则有

即序列被区间[P,Q]隔断,两边跳, 序列振荡趋于下极限P和上极限Q.

如果P<x<Q, 首先由于, 序列完全被限制在区间[P,Q]内.
不妨设P<x<C, (类似的,或者C<y<Q), 则有
, 立刻知道,序列依然振荡趋于下极限P和上极限Q. 换句话说, 不动点x=C是排斥子(源),而P,Q共轭 点对是吸引子(汇).

时,归到第一种情况, 收敛于极限点

所以, tigou的观察是非常敏锐并且极具前瞻性的, 我楼上的贴子是错误百出的, 贻笑大方了, 虫友们请见谅.
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We_must_know. We_will_know.
15楼2015-09-17 06:26:35
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
feixiaolin: 金币+8 2015-09-17 12:36:55
引用回帖:
15楼: Originally posted by hank612 at 2015-09-17 06:26:35
(1)假如函数 a^{a^x}-x在上严格单调下降: (譬如,当a>e^{-e}\approx 0.065988时, 在上导函数a^{a^x+x}\ln^2{a}-1<0)

由于方程a^x=x在上有唯一解C=C(a), 于是知道若x<C, (类似的,或者C<y),  则x<a ...

(1)假如函数a^{a^x}-x在[0,1]上严格单调下降: (譬如,当a>e^{-e}= 0.065988...时, 在[0,1]上导函数a^{a^x+x}\ln^2{a}-1<0)
由于方程a^x=x在[0,1]上有唯一解C=C(a), 于是知道若x<C, (类似的,或者C<y),  则x<a^{a^x}<C<a^{a^{a^x}}<a^x, 因此序列围绕着C点,奇数项单调上升, 偶数项单调下降,上下极限均存在. 可是上下极限点必须是a^{a^x}=x的解, 因此极限点必然就是C.
总而言之, 在这种情况下, 序列振荡收敛于C, 其中C是满足a^x=x在[0,1]上的唯一解.
(2) 当a<e^{-e}时, 可以知道,方程a^{a^x}=x在[0,1]上现在有三个解. 其中一个C满足a^C=C另外一对共轭解P,Q满足a^P=Q, a^Q=P, 于是P^P=Q^Q=a^{PQ}, 即a=e^{\frac{\ln{P}}{Q}}不妨设P<Q.
这时候,如果0<x<P (类似的,或1>y>Q), 则有
x< a^{a^x}<P <Q < a^{a^{a^x}}<a^x
即序列被区间[P,Q]隔断,两边跳, 序列振荡趋于下极限P和上极限Q.
如果P<x<Q, 首先由于P<a^x<Q , 序列完全被限制在区间[P,Q]内.
不妨设P<x<C, (类似的,或者C<y<Q), 则有
P< a^{a^x}<x <C <a^x< a^{a^{a^x}}<Q立刻知道,序列依然振荡趋于下极限P和上极限Q. 换句话说, 不动点x=C是排斥子(源),而P,Q共轭 点对是吸引子(汇).

a=e^{-e}时,归到第一种情况, 收敛于极限点C=1/e.

所以, tigou的观察是完全正确的, 我楼上的贴子是错误百出的, 贻笑大方了, 虫友们请见谅.
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We_must_know. We_will_know.
16楼2015-09-17 07:16:52
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
16楼: Originally posted by hank612 at 2015-09-17 07:16:52
(1)假如函数a^{a^x}-x在上严格单调下降: (譬如,当a>e^{-e}= 0.065988...时, 在上导函数a^{a^x+x}\ln^2{a}-1<0)
由于方程a^x=x在上有唯一解C=C(a), 于是知道若x<C, (类似的,或者C<y),  则x<a^{a^x} ...

谢谢抬爱。事实上您的基本功比我扎实多了，例如您用方程a^{a^x}=x的解来诱导数列的极限点，就是我没想到的。我只考虑过方程a^x=x的解，因而无法确定在什么情况下数列发散。

本帖的问题已经解决。但为了加快广义乘向非负实数集乃至复数集延拓的步伐，并且体现出您的贡献，建议您抽出宝贵的时间来共同完成一篇东西。

基本思路如下：放弃光滑性的要求，用函数项级数的方式来定义指数在[0,1]区间的广义乘（这种定义方式受到过拉马之仆的启发，如果该虫友有兴趣，也可以一起合作），大于1的情况则采用递归方式定义。但这种定义方式需要仔细分析函数项级数的连续性、单调性等性质，本帖的问题只是第一步，这种分析需要您和其他合作者（如果有的话）来完成。我的主要精力则放在处理广义乘与三角函数、微积分运算的关系上，并且正式提出二级函数猜想。

用[+n]表示n级乘(这里的n大于等于3，小于3的情况采用传统符号)，a_m表示a^x的泰勒级数的系数，任给正实数b和[0,1]上的x，其n级乘计算方式定义如下：
b[+n]x=1+\sum_{m=1}^{\infty}a_m*x[+n](2m+1)
请仔细分析n取任意值时，函数b[+n]x在区间[0,1]上的单调性、连续性以及您认为重要的其他性质。欢迎任何有兴趣、有能力并且信任我的虫友参与合作，您的结果可以在本帖公开，也可发送至tigou@sina.com。
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0/0的意义是所有数的集合
17楼2015-09-17 09:48:05
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
17楼: Originally posted by tigou at 2015-09-17 09:48:05
谢谢抬爱。事实上您的基本功比我扎实多了，例如您用方程a^{a^x}=x的解来诱导数列的极限点，就是我没想到的。我只考虑过方程a^x=x的解，因而无法确定在什么情况下数列发散。

本帖的问题已经解决。但为了加快广义 ...

更正：
b[+n]x=1+\sum_{m=0}^{\infty}b_m*x[+n](2m+1)
其中b_m为b^x的泰勒级数的系数。
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0/0的意义是所有数的集合
18楼2015-09-17 10:18:04
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★ ★ ★ ★ ★
tigou(feixiaolin代发): 金币+5 2015-09-17 12:36:34
引用回帖:
17楼: Originally posted by tigou at 2015-09-17 09:48:05
谢谢抬爱。事实上您的基本功比我扎实多了，例如您用方程a^{a^x}=x的解来诱导数列的极限点，就是我没想到的。我只考虑过方程a^x=x的解，因而无法确定在什么情况下数列发散。

本帖的问题已经解决。但为了加快广义 ...

楼主谬赞了。楼主的奇思妙想让人深感敬佩。
合作就算了，你有什么问题，就放到版上来，大家集思广益，岂不甚好？
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We_must_know. We_will_know.
19楼2015-09-17 10:39:31
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
18楼: Originally posted by tigou at 2015-09-17 10:18:04
更正：
bx=1+\sum_{m=0}^{\infty}b_m*x(2m+1)
其中b_m为b^x的泰勒级数的系数。...

继续更正：
b[+n]x=1+\sum_{m=1}^{\infty}b_m*x[+n](2m-1)
其中b_m为b^x的泰勒级数的系数。这种定义能保证，对于任意的高级乘，b[+n]0=1，b[+n]1=b。并且表述比较统一和简洁。
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0/0的意义是所有数的集合
20楼2015-09-17 13:03:47
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