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tigou木虫 (正式写手)
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[求助]
求数列的上下极限已有2人参与
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设0<x<1, a_0=1, a_{n+1}=x^{a_n}(n为任意自然数). 求数列a_n的上下极限. 谢谢. |
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tigou
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谢谢抬爱。事实上您的基本功比我扎实多了，例如您用方程a^{a^x}=x的解来诱导数列的极限点，就是我没想到的。我只考虑过方程a^x=x的解，因而无法确定在什么情况下数列发散。 本帖的问题已经解决。但为了加快广义乘向非负实数集乃至复数集延拓的步伐，并且体现出您的贡献，建议您抽出宝贵的时间来共同完成一篇东西。 基本思路如下：放弃光滑性的要求，用函数项级数的方式来定义指数在[0,1]区间的广义乘（这种定义方式受到过拉马之仆的启发，如果该虫友有兴趣，也可以一起合作），大于1的情况则采用递归方式定义。但这种定义方式需要仔细分析函数项级数的连续性、单调性等性质，本帖的问题只是第一步，这种分析需要您和其他合作者（如果有的话）来完成。我的主要精力则放在处理广义乘与三角函数、微积分运算的关系上，并且正式提出二级函数猜想。 用[+n]表示n级乘(这里的n大于等于3，小于3的情况采用传统符号)，a_m表示a^x的泰勒级数的系数，任给正实数b和[0,1]上的x，其n级乘计算方式定义如下： b[+n]x=1+\sum_{m=1}^{\infty}a_m*x[+n](2m+1) 请仔细分析n取任意值时，函数b[+n]x在区间[0,1]上的单调性、连续性以及您认为重要的其他性质。欢迎任何有兴趣、有能力并且信任我的虫友参与合作，您的结果可以在本帖公开，也可发送至tigou@sina.com。 |
17楼2015-09-17 09:48:05
peterflyer 
木虫之王 (文学泰斗)
peterflyer
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2楼2015-09-14 06:51:30
3楼2015-09-14 08:46:08
tigou
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谢谢参与。但excel似乎不同意您的说法： 0.01 0.954992586 0.012303108 0.944917265 0.012887405 0.942378112 0.013038985 0.941720513 0.013078531 0.941549024 0.013088864 0.941504223 0.013091565 0.941492513 0.013092271 0.941489452 0.013092455 0.941488652 0.013092503 0.941488443 0.013092516 0.941488388 0.013092519 0.941488374 0.01309252 0.94148837 0.01309252 0.941488369 0.01309252 0.941488369 0.013092521 0.941488369 0.013092521 |
4楼2015-09-14 09:02:51