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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求数列的上下极限
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bluesine

铁杆木虫 (职业作家)

科苑小木虫
尽管已经完结了，我还不得出来说下，毕竟看到你们结论不对，闭区间长度在这里是趋于0的。

上下极限是相等的，你那个结果出现的原因是excel精度不够。

设初值为x,极限为x^y=y的解。


用matlab做了验证，代码灰常简单，循环个2000次就够了，当然必须用高精度long g
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tigou
板凳要做十年冷文章不发一个字
21楼2015-09-17 14:58:33
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tigou

木虫 (正式写手)
送红花一朵
引用回帖:
21楼: Originally posted by bluesine at 2015-09-17 14:58:33
尽管已经完结了，我还不得出来说下，毕竟看到你们结论不对，闭区间长度在这里是趋于0的。

上下极限是相等的，你那个结果出现的原因是excel精度不够。

设初值为x,极限为x^y=y的解。


用matlab做了验证，代 ...

谢谢。这下更有意思了。无论如何，找到严格的证明才算彻底解决问题（我曾经还怀疑过所有收敛的点集是否连续）。
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0/0的意义是所有数的集合
22楼2015-09-17 16:58:39
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bluesine

铁杆木虫 (职业作家)

科苑小木虫
引用回帖:
22楼: Originally posted by tigou at 2015-09-17 16:58:39
谢谢。这下更有意思了。无论如何，找到严格的证明才算彻底解决问题（我曾经还怀疑过所有收敛的点集是否连续）。...

找到严格证明稍微有点麻烦，可以试试：

考虑｛a_2n｝和{a_2n+1}这两个数列，分别的单调的（跟初始x有关），证明它们的极限存在。

然后列方程即能得到它们的极限计算式子。
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板凳要做十年冷文章不发一个字
23楼2015-09-17 17:11:26
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
23楼: Originally posted by bluesine at 2015-09-17 17:11:26
找到严格证明稍微有点麻烦，可以试试：

考虑｛a_2n｝和{a_2n+1}这两个数列，分别的单调的（跟初始x有关），证明它们的极限存在。

然后列方程即能得到它们的极限计算式子。...

您确定用x=0.01也收敛。我用vb2010验证是发散的，这个精度也是相当高的。其他虫友方便的话也帮忙验证下，谢谢。
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0/0的意义是所有数的集合
24楼2015-09-17 18:30:58
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bluesine

铁杆木虫 (职业作家)

科苑小木虫
引用回帖:
24楼: Originally posted by tigou at 2015-09-17 18:30:58
您确定用x=0.01也收敛。我用vb2010验证是发散的，这个精度也是相当高的。其他虫友方便的话也帮忙验证下，谢谢。...

0.01试了下代码，确实是存在上下极限。估计有个限制吧，在某个范围内是收敛的，某些范围是存在上下极限的。

取0.01的两个极限点数值为


      0.94148836857567



        0.0130925205079953
看来分析过程会更麻烦啊。加油吧
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板凳要做十年冷文章不发一个字
25楼2015-09-18 08:36:07
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bluesine

铁杆木虫 (职业作家)

科苑小木虫
引用回帖:
24楼: Originally posted by tigou at 2015-09-17 18:30:58
您确定用x=0.01也收敛。我用vb2010验证是发散的，这个精度也是相当高的。其他虫友方便的话也帮忙验证下，谢谢。...

临界值在x* = 0.0665附近，更精确的估计需要解析结果或者更高次的计算了~~楼主加油吧，这个我感觉有点像bification。。。
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板凳要做十年冷文章不发一个字
26楼2015-09-18 08:40:43
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
26楼: Originally posted by bluesine at 2015-09-18 08:40:43
临界值在x* = 0.0665附近，更精确的估计需要解析结果或者更高次的计算了~~楼主加油吧，这个我感觉有点像bification。。。...

15楼已经给出了正确的思路。仅仅留下了个别细节需要更严格的证明。谢谢您的关注，也希望您对20楼给出的函数提供宝贵意见。
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0/0的意义是所有数的集合
27楼2015-09-18 08:51:02
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
15楼: Originally posted by hank612 at 2015-09-17 06:26:35
(1)假如函数 a^{a^x}-x在上严格单调下降: (譬如,当a>e^{-e}\approx 0.065988时, 在上导函数a^{a^x+x}\ln^2{a}-1<0)

由于方程a^x=x在上有唯一解C=C(a), 于是知道若x<C, (类似的,或者C<y),  则x<a ...

a^{a^x}=x在[0,1]上有三个解。这个结论是猜出来的，还是有严格的解法？
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0/0的意义是所有数的集合
28楼2015-09-19 17:39:04
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
28楼: Originally posted by tigou at 2015-09-19 17:39:04
a^{a^x}=x在上有三个解。这个结论是猜出来的，还是有严格的解法？...

根据楼主和Bluesine的数据看到的， 猜出来的，未经严格证明。楼主需要详细写出证明的，但万一该猜测不对也请楼主不要怪我
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We_must_know. We_will_know.
29楼2015-09-19 20:13:17
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