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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求数列的上下极限
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tigou

木虫 (正式写手)

[求助] 求数列的上下极限 已有2人参与

设0<x<1, a_0=1, a_{n+1}=x^{a_n}(n为任意自然数).
求数列a_n的上下极限. 谢谢.
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0/0的意义是所有数的集合
1楼 2015-09-13 12:21:46
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
14楼: Originally posted by tigou at 2015-09-16 12:59:56
结论明显错误。已能初步确认（除非计算机的浮点运算引发了严重误差），数列收敛的临界值在0.09至0.1之间，大于临界值的都收敛，小于临界值的都发散，等于临界值是否收敛则不能确定。不过您的观点在大量的泥沙中也包 ...

(1)假如函数 在[0,1]上严格单调下降: (譬如,当时, 在[0,1]上导函数)

由于方程在[0,1]上有唯一解C=C(a), 于是知道若x<C, (类似的,或者C<y),  则, 因此序列围绕着C点,奇数项单调上升, 偶数项单调下降,上下极限均存在. 可是上下极限点必须是的解, 因此极限点必然就是C.

总而言之, 在这种情况下, 序列振荡收敛于C, 其中C是满足在[0,1]上的唯一解.

(2) 当时, 可以知道,方程在[0,1]上有三个解. 其中一个C满足, 另外一对共轭解P,Q满足, 于是, 即

不妨设P<Q.
这时候,如果0<x<P (类似的,或1>y>Q), 则有

即序列被区间[P,Q]隔断,两边跳, 序列振荡趋于下极限P和上极限Q.

如果P<x<Q, 首先由于, 序列完全被限制在区间[P,Q]内.
不妨设P<x<C, (类似的,或者C<y<Q), 则有
, 立刻知道,序列依然振荡趋于下极限P和上极限Q. 换句话说, 不动点x=C是排斥子(源),而P,Q共轭 点对是吸引子(汇).

时,归到第一种情况, 收敛于极限点

所以, tigou的观察是非常敏锐并且极具前瞻性的, 我楼上的贴子是错误百出的, 贻笑大方了, 虫友们请见谅.
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We_must_know. We_will_know.
15楼2015-09-17 06:26:35
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这个数列的极限当n趋于无穷时似乎不论x取0和1之间的任何值均趋于1。因此上下限均为1。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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2楼2015-09-14 06:51:30
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ddcy

捐助贵宾 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这个数列的上限显然是1（即a_0）。下限是x（即a_1），因为0<x<1，当n>1，数列中所有的项都大于x（且趋于1）。

发自小木虫Android客户端
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3楼2015-09-14 08:46:08
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tigou

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by peterflyer at 2015-09-14 06:51:30
这个数列的极限当n趋于无穷时似乎不论x取0和1之间的任何值均趋于1。因此上下限均为1。

谢谢参与。但excel似乎不同意您的说法：
0.01
0.954992586
0.012303108
0.944917265
0.012887405
0.942378112
0.013038985
0.941720513
0.013078531
0.941549024
0.013088864
0.941504223
0.013091565
0.941492513
0.013092271
0.941489452
0.013092455
0.941488652
0.013092503
0.941488443
0.013092516
0.941488388
0.013092519
0.941488374
0.01309252
0.94148837
0.01309252
0.941488369
0.01309252
0.941488369
0.013092521
0.941488369
0.013092521
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0/0的意义是所有数的集合
4楼2015-09-14 09:02:51
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