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tigou

木虫 (正式写手)

[求助] 求数列的上下极限 已有2人参与

设0<x<1, a_0=1, a_{n+1}=x^{a_n}(n为任意自然数).
求数列a_n的上下极限. 谢谢.
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0/0的意义是所有数的集合
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

引用回帖:
10楼: Originally posted by tigou at 2015-09-16 08:00:32
确实有难度,一个人的思路太窄,所以提出来供大家参考。{a_n}具有良好的闭区间套性质,只不过区间长度不一定趋于0。针对这个数列,有可能总结出好几个新定理,并且为广义乘向实数集的扩张奠定基础。...

楼主想得太多啦。 其实,从你给出的数据,可以提炼出如下结论:

tigou定理:设0<x<1, (n为任意自然数).
那么, 序列 有且仅有两个聚点,记为A,B。它们满足
. 进一步地,  收敛当且仅当 (即A=B=1/e时).

欢迎大家写出证明。
We_must_know. We_will_know.
13楼2015-09-16 11:08:11
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer


【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
这个数列的极限当n趋于无穷时似乎不论x取0和1之间的任何值均趋于1。因此上下限均为1。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
2楼2015-09-14 06:51:30
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ddcy

捐助贵宾 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
这个数列的上限显然是1(即a_0)。下限是x(即a_1),因为0<x<1,当n>1,数列中所有的项都大于x(且趋于1)。

发自小木虫Android客户端
3楼2015-09-14 08:46:08
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tigou

木虫 (正式写手)

引用回帖:
2楼: Originally posted by peterflyer at 2015-09-14 06:51:30
这个数列的极限当n趋于无穷时似乎不论x取0和1之间的任何值均趋于1。因此上下限均为1。

谢谢参与。但excel似乎不同意您的说法:
0.01
0.954992586
0.012303108
0.944917265
0.012887405
0.942378112
0.013038985
0.941720513
0.013078531
0.941549024
0.013088864
0.941504223
0.013091565
0.941492513
0.013092271
0.941489452
0.013092455
0.941488652
0.013092503
0.941488443
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0.941488388
0.013092519
0.941488374
0.01309252
0.94148837
0.01309252
0.941488369
0.01309252
0.941488369
0.013092521
0.941488369
0.013092521
0/0的意义是所有数的集合
4楼2015-09-14 09:02:51
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