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北京石油化工学院2026年研究生招生接收调剂公告
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tigou

木虫 (正式写手)

[求助] 求数列的上下极限 已有2人参与

设0<x<1, a_0=1, a_{n+1}=x^{a_n}(n为任意自然数).
求数列a_n的上下极限. 谢谢.
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
feixiaolin: 金币+8 2015-09-17 12:36:55
引用回帖:
15楼: Originally posted by hank612 at 2015-09-17 06:26:35
(1)假如函数 a^{a^x}-x在上严格单调下降: (譬如,当a>e^{-e}\approx 0.065988时, 在上导函数a^{a^x+x}\ln^2{a}-1<0)

由于方程a^x=x在上有唯一解C=C(a), 于是知道若x<C, (类似的,或者C<y),  则x<a ...

(1)假如函数a^{a^x}-x在[0,1]上严格单调下降: (譬如,当a>e^{-e}= 0.065988...时, 在[0,1]上导函数a^{a^x+x}\ln^2{a}-1<0)
由于方程a^x=x在[0,1]上有唯一解C=C(a), 于是知道若x<C, (类似的,或者C<y),  则x<a^{a^x}<C<a^{a^{a^x}}<a^x, 因此序列围绕着C点,奇数项单调上升, 偶数项单调下降,上下极限均存在. 可是上下极限点必须是a^{a^x}=x的解, 因此极限点必然就是C.
总而言之, 在这种情况下, 序列振荡收敛于C, 其中C是满足a^x=x在[0,1]上的唯一解.
(2) 当a<e^{-e}时, 可以知道,方程a^{a^x}=x在[0,1]上现在有三个解. 其中一个C满足a^C=C另外一对共轭解P,Q满足a^P=Q, a^Q=P, 于是P^P=Q^Q=a^{PQ}, 即a=e^{\frac{\ln{P}}{Q}}不妨设P<Q.
这时候,如果0<x<P (类似的,或1>y>Q), 则有
x< a^{a^x}<P <Q < a^{a^{a^x}}<a^x
即序列被区间[P,Q]隔断,两边跳, 序列振荡趋于下极限P和上极限Q.
如果P<x<Q, 首先由于P<a^x<Q , 序列完全被限制在区间[P,Q]内.
不妨设P<x<C, (类似的,或者C<y<Q), 则有
P< a^{a^x}<x <C <a^x< a^{a^{a^x}}<Q立刻知道,序列依然振荡趋于下极限P和上极限Q. 换句话说, 不动点x=C是排斥子(源),而P,Q共轭 点对是吸引子(汇).

a=e^{-e}时,归到第一种情况, 收敛于极限点C=1/e.

所以, tigou的观察是完全正确的, 我楼上的贴子是错误百出的, 贻笑大方了, 虫友们请见谅.
We_must_know. We_will_know.
16楼2015-09-17 07:16:52
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer


【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
这个数列的极限当n趋于无穷时似乎不论x取0和1之间的任何值均趋于1。因此上下限均为1。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
2楼2015-09-14 06:51:30
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ddcy

捐助贵宾 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
这个数列的上限显然是1(即a_0)。下限是x(即a_1),因为0<x<1,当n>1,数列中所有的项都大于x(且趋于1)。

发自小木虫Android客户端
3楼2015-09-14 08:46:08
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tigou

木虫 (正式写手)

引用回帖:
2楼: Originally posted by peterflyer at 2015-09-14 06:51:30
这个数列的极限当n趋于无穷时似乎不论x取0和1之间的任何值均趋于1。因此上下限均为1。

谢谢参与。但excel似乎不同意您的说法:
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0/0的意义是所有数的集合
4楼2015-09-14 09:02:51
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