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tigou木虫 (正式写手)
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求数列的上下极限 已有2人参与
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设0<x<1, a_0=1, a_{n+1}=x^{a_n}(n为任意自然数). 求数列a_n的上下极限. 谢谢. |
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hank612
至尊木虫 (著名写手)
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feixiaolin: 金币+8 2015-09-17 12:36:55
feixiaolin: 金币+8 2015-09-17 12:36:55
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(1)假如函数a^{a^x}-x在[0,1]上严格单调下降: (譬如,当a>e^{-e}= 0.065988...时, 在[0,1]上导函数a^{a^x+x}\ln^2{a}-1<0) 由于方程a^x=x在[0,1]上有唯一解C=C(a), 于是知道若x<C, (类似的,或者C<y), 则x<a^{a^x}<C<a^{a^{a^x}}<a^x, 因此序列围绕着C点,奇数项单调上升, 偶数项单调下降,上下极限均存在. 可是上下极限点必须是a^{a^x}=x的解, 因此极限点必然就是C. 总而言之, 在这种情况下, 序列振荡收敛于C, 其中C是满足a^x=x在[0,1]上的唯一解. (2) 当a<e^{-e}时, 可以知道,方程a^{a^x}=x在[0,1]上现在有三个解. 其中一个C满足a^C=C另外一对共轭解P,Q满足a^P=Q, a^Q=P, 于是P^P=Q^Q=a^{PQ}, 即a=e^{\frac{\ln{P}}{Q}}不妨设P<Q. 这时候,如果0<x<P (类似的,或1>y>Q), 则有 x< a^{a^x}<P <Q < a^{a^{a^x}}<a^x 即序列被区间[P,Q]隔断,两边跳, 序列振荡趋于下极限P和上极限Q. 如果P<x<Q, 首先由于P<a^x<Q , 序列完全被限制在区间[P,Q]内. 不妨设P<x<C, (类似的,或者C<y<Q), 则有 P< a^{a^x}<x <C <a^x< a^{a^{a^x}}<Q立刻知道,序列依然振荡趋于下极限P和上极限Q. 换句话说, 不动点x=C是排斥子(源),而P,Q共轭 点对是吸引子(汇). a=e^{-e}时,归到第一种情况, 收敛于极限点C=1/e. 所以, tigou的观察是完全正确的, 我楼上的贴子是错误百出的, 贻笑大方了, 虫友们请见谅. |
16楼2015-09-17 07:16:52
peterflyer 
木虫之王 (文学泰斗)
peterflyer
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2楼2015-09-14 06:51:30
3楼2015-09-14 08:46:08
tigou
木虫 (正式写手)
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谢谢参与。但excel似乎不同意您的说法： 0.01 0.954992586 0.012303108 0.944917265 0.012887405 0.942378112 0.013038985 0.941720513 0.013078531 0.941549024 0.013088864 0.941504223 0.013091565 0.941492513 0.013092271 0.941489452 0.013092455 0.941488652 0.013092503 0.941488443 0.013092516 0.941488388 0.013092519 0.941488374 0.01309252 0.94148837 0.01309252 0.941488369 0.01309252 0.941488369 0.013092521 0.941488369 0.013092521 |
4楼2015-09-14 09:02:51