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连续函数f(x),g(x)满足f(x)＜g(x)，是否总存在光滑函数h(x)满足f(x)＜h(x)＜g(x)？已有10人参与
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连续函数f(x),g(x)满足f(x)＜g(x)，是否总存在光滑函数h(x)满足f(x)＜h(x)＜g(x)？ [ 发自手机版 http://muchong.com/3g ] |
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zaq123321
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dfdx: 金币+4 2015-09-09 08:11:37
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dfdx: 金币+4 2015-09-09 08:11:37
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I think should be correct. First. Function k=(f+g)/2 is between f and g. If k is smooth, then done. Otherwise, take the convolution of k with a mollifier function. Then that function is smooth [ 发自手机版 http://muchong.com/3g ] |
2楼2015-09-09 04:20:50
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楼主，我想问一下你说的光滑是各阶导数都有吗？如果是这个定义的话，你说的命题是不对的,其实把光滑改成可导也是不对的。我有反例。f(x)=-1;g(x)是分段函数当x=0时取值为0；但x不等于0时取值为[x^(1/3)]sin(1/x)的绝对值。你可以用连续的定义验证这两个函数都是连续的且f(x)<g(x)。任取一个函数h(x) 满足f(x)<h(x)<g(x), 用单侧导数的定义考虑，会发现h(x)在x=0处的左导数大于(g(x)+1)/x(当x趋向0)这个值是无穷大(注意这里要用到h(x)<g(x) 且 h(0)>-1和x<0)，所以h(x)在x=0处左导数不存在，从而在x=0处不可导，当然也不可能光滑。证明思路如此打公式太麻烦 ，如有疑问可再联系我 。 |
4楼2015-09-09 15:32:05
3楼2015-09-09 06:11:28
peterflyer 
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5楼2015-09-09 15:43:47
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导数为无穷大，不能说明不光滑，圆是光滑的！ 闭区间应该是成立的，设g-f的最小值为ε＞0，则存在多项式函数k(x)，满足 lk-(f+g)/2l＜ε/4 开区间，g-f=ε→0，不知道 [ 发自手机版 http://muchong.com/3g ] |
6楼2015-09-09 18:50:53
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zaq123321
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How about this explanation https://en.m.wikipedia.org/wiki/Mollifier [ 发自手机版 http://muchong.com/3g ] |
9楼2015-09-10 03:12:37
10楼2015-09-10 08:48:46