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tigou

木虫 (正式写手)

引用回帖:
10楼: Originally posted by tigou at 2015-08-16 08:53:00
更正
(4)~~\lim_{x\to+\infty}f(x)^{f(x)}=1

(6)~~\lim_{x\to+\infty}f(x)^{\frac{f(x)}{1-f(x)}}=1

(6)~~\lim_{x\to+\infty}xf(x)*f(x)^{\frac{f(x)}{1-f(x)}}=1...

继续更正

补充一个结论. 不能通过(2)导出
0/0的意义是所有数的集合
11楼2015-08-16 09:04:13
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tigou

木虫 (正式写手)

引用回帖:
11楼: Originally posted by tigou at 2015-08-16 09:04:13
继续更正
(7)~~\lim_{x\to+\infty}xf(x)*f(x)^{\frac{f(x)}{1-f(x)}}=1
补充一个结论. 不能通过(2)导出
(8)~~\lim_{x\to+\infty}1-f(x)=1...

继续更正


对公式编号有一个好处,即使不小心弄错了,修改起来也方便,便于检查核对。

个人感觉,严谨地证明1楼命题需要对海涅定理进行改造。当然,我的直觉并不是每次都对。无论如何,有人相互交流比一个人冥思苦想的效率高,所以衷心感谢hank612的无私帮助。
0/0的意义是所有数的集合
12楼2015-08-16 10:32:51
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拉马之仆

银虫 (小有名气)

★ ★ ★ ★ ★
tigou(feixiaolin代发): 金币+5 2015-08-17 19:27:03
引用回帖:
5楼: Originally posted by tigou at 2015-08-15 16:54:50
尽管无人参与讨论,我仍然想说:1楼命题(不妨称之为无穷大极限猜想)和我3月份就提出的二级函数猜想共同表明,到目前为止,人类对实数的认识还存在大片盲区,这种认识盲区在自然数那里就已经存在了,只不过以往人们 ...

好吧,楼主的命题其实非常简单,基本上是微积分入门式的习题。好在我本来也只是个刚入门的菜鸟,不怕别人为我的智商捉急。希望我的证明能让楼主满意。(顺便练习一下LaTeX语法)

我们先来证明当时,是有界的。用反证法。
假设当时,无界,
,
,
,
由假设知必有
由于当时,为比高阶的无穷大量(这一点楼主一定能理解吧?),
故有
但这与假设相矛盾,这就证明了当时,有界。
再来证明
,
,
,
假设,则

这与前提相矛盾,故
又设
,
这也与前提相矛盾。故必有
于是显然有(楼主自己证明):


易得
易得

于是显然有(楼主自己证明):


另外,关于无穷大的性质,无非是阶的比较的问题,罗比塔法则就是研究这一问题的非常成熟的一种方法和技巧。个人斗胆认为,笼罩在经典分析上的两朵乌云之下,并没有隐藏什么数学乌托邦。
13楼2015-08-16 10:43:03
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拉马之仆

银虫 (小有名气)

引用回帖:
13楼: Originally posted by 拉马之仆 at 2015-08-16 10:43:03
好吧,楼主的命题其实非常简单,基本上是微积分入门式的习题。好在我本来也只是个刚入门的菜鸟,不怕别人为我的智商捉急。希望我的证明能让楼主满意。(顺便练习一下LaTeX语法)
(1^{\circ})\lim\limits_{x\to+\inf ...


易得
易得(此处原有笔误),

于是显然有(楼主自己证明):
14楼2015-08-16 10:52:27
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tigou

木虫 (正式写手)

引用回帖:
13楼: Originally posted by 拉马之仆 at 2015-08-16 10:43:03
好吧,楼主的命题其实非常简单,基本上是微积分入门式的习题。好在我本来也只是个刚入门的菜鸟,不怕别人为我的智商捉急。希望我的证明能让楼主满意。(顺便练习一下LaTeX语法)
(1^{\circ})\lim\limits_{x\to+\inf ...

讨论问题无关智商高低。但是你的推导的确存在巨大错误。以其中一个结论为例:

这个结论就错得离谱,例如

就不满足(a),但满足题设条件。希望您再仔细斟酌下,谢谢。
0/0的意义是所有数的集合
15楼2015-08-16 10:58:01
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拉马之仆

银虫 (小有名气)

引用回帖:
15楼: Originally posted by tigou at 2015-08-16 10:58:01
讨论问题无关智商高低。但是你的推导的确存在巨大错误。以其中一个结论为例:
(a)~~0<\lim_{x\to+\infty}f(x)<1
这个结论就错得离谱,例如
f(x)=\frac{\ln x}{x}
就不满足(a),但满足题设条件。希望您再 ...

不用斟酌,我知道楼主埋着炸弹呢。呵呵
16楼2015-08-16 11:05:13
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tigou

木虫 (正式写手)

引用回帖:
13楼: Originally posted by 拉马之仆 at 2015-08-16 10:43:03
好吧,楼主的命题其实非常简单,基本上是微积分入门式的习题。好在我本来也只是个刚入门的菜鸟,不怕别人为我的智商捉急。希望我的证明能让楼主满意。(顺便练习一下LaTeX语法)
(1^{\circ})\lim\limits_{x\to+\inf ...

罗比塔 法则只对可导函数有效,严格说来,不可导函数比可导函数要多得多。此外,在广义乘的框架内,微积分运算仅仅处在1级运算的层次。事实上,几乎可以证明这样的定理:

假设f是由四则运算和微积分运算构成的函数(这种说法虽然粗糙,但意思你懂的),并且在正无穷大的某邻域上有定义,则



所有这些结论,都只局限在2级运算以内。但涉及到3级以上的运算,情况就不一样了。而且,假如不利用广义乘的思路,你甚至都无法觉察到微积分运算就是1级乘的近亲。
0/0的意义是所有数的集合
17楼2015-08-16 11:13:57
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

引用回帖:
9楼: Originally posted by tigou at 2015-08-16 08:42:43
这里只讨论右推左的情况(尽管你左推右过程中的错误更大)。你的推导过程关键是利用了
(1)~~\lim_{t\to 0+}t^t=1
但你好像忘记了
(2)~~\liminf_{x\to+\infty}f(x)=0

(3)~~\lim_{x\to+\infty}f(x)=0
是有区 ...

我们又在重复Newton, Leibniz 关于极限有用但不严密的理论, 还是回到Weierstrass, Cauchy 语言的严密路子上吧。

我想麻烦楼主证明两个引理先。 设a>0, x>e.
引理1:

引理2:

然后利用这些不等式,采用 语言, 看看能否证明楼主的猜想。 辛苦了。
We_must_know. We_will_know.
18楼2015-08-17 01:45:33
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tigou

木虫 (正式写手)

引用回帖:
18楼: Originally posted by hank612 at 2015-08-17 01:45:33
我们又在重复Newton, Leibniz 关于极限有用但不严密的理论, 还是回到Weierstrass, Cauchy \epsilon-\delta语言的严密路子上吧。

我想麻烦楼主证明两个引理先。 设a>0, x>e.
引理1: ax^{1-a}>\min ...

这个思路不可行。因为我曾经想利用夹逼准则,进行过类似的尝试,发现行不通。麻烦的关键是,对于形如:

这样的函数而言,y是常数和不是常数时的性质大不一样。如果您不信,可以先假设两个“引理”成立,依然证明不了1楼命题。
0/0的意义是所有数的集合
19楼2015-08-17 08:39:17
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