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tigou

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[求助] 已经被掘地三尺的极限分析为什么还存在模糊地带已有1人参与

从魏尔斯特拉斯建立严格的epsilon-delta极限定义算起，实函数的极限被数学界的各种大牛小牛玩弄了150年以上。为什么还存在模糊地带，存在既证明不了也推翻不了的问题？比如下面这个问题：

$\lim_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=+\infty\Leftrightarrow\lim_{x\to+\infty}f(x)x=+\infty\land\lim_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=+\infty$

当然，也可能是我水平太臭并且孤陋寡闻，所以解决不了。说不定有虫子能找到反例或者给出证明呢。

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0/0的意义是所有数的集合

1楼 2015-08-14 16:09:13

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hank612

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
tigou: 金币+10, ★有帮助, 右推左的变换富有想象力，尽管不够严谨。 2015-08-16 09:13:47

引用回帖:

5楼: Originally posted by tigou at 2015-08-15 16:54:50
尽管无人参与讨论，我仍然想说：1楼命题（不妨称之为无穷大极限猜想）和我3月份就提出的二级函数猜想共同表明，到目前为止，人类对实数的认识还存在大片盲区，这种认识盲区在自然数那里就已经存在了，只不过以往人们 ...

如果 $\lim_{x\rightarrow \infty} x f(x)=+\infty$ 且 $x^{1-f(x)}\rightarrow +\infty$ ，不妨设 $\lim\inf_{x\rightarrow \infty} f(x)=0+$ , 注意到 $\lim_{t\rightarrow 0+} t^t=1$ , 知道
$(f(x)x^{1-f(x)})^{\frac{1}{1-f(x)}}=xf(x)\cdot (f(x)^{f(x)})^{\frac{1}{1-f(x)}}\rightarrow +\infty$

反过来则更显然了。由 $f(x)>0$ 知道 $x f(x)\rightarrow +\infty$ . 若 $f(x)\leq 1$ , 自然 $x^{1-f(x)}\rightarrow +\infty$ . 若 $f(x)> 1$ ,又会有 $f(x)x^{1-f(x)}-x^{1-f(x)}=\frac{f(x)-1}{x^{f(x)-1}} <1$ , 依旧有 $x^{1-f(x)}\rightarrow +\infty$ .

楼主的感慨仿佛因曲高和寡而孤芳自赏，历史上颇有知音的，譬如
嬴政一统天下后YY二世三世直至万世，不料龙行天下时围观党中一人说“彼可取而代之”，一个说“大丈夫当如是也”，这二厮后来划鸿沟为界，瓜分了他的天下。

陈子昂才华冠绝当世，感慨“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而泪下”，一甲子后，诗仙诗圣诗豪等夺了万世风流

1900年，英国著名物理学家开尔文勋爵展望新世纪，提到物理学家的大厦已经建成，未来的物理学家只需要做些修修补补的工作就行了。　然而，事隔不到一年，从黑体辐射的问题研究中降生了量子论，紧接着，1905年从迈克尔逊实验问题中降生了相对论。

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We_must_know. We_will_know.

6楼2015-08-15 23:04:38

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尽管无人参与讨论，我仍然想说：1楼命题（不妨称之为无穷大极限猜想）和我3月份就提出的二级函数猜想共同表明，到目前为止，人类对实数的认识还存在大片盲区，这种认识盲区在自然数那里就已经存在了，只不过以往人们还未意识到而已。冲破这种盲区，可能需要一次基础性革命。

二级函数猜想和无穷大极限猜想。都是我在分析广义乘性质的过程中发现的，这意味着广义乘背后隐藏着大量的未知秘密。也许，若干年回过头来看，二级函数猜想和无穷大极限猜想就是笼罩在经典分析上的两朵乌云，而乌云之下隐藏的是一个崭新的数学王国。

对广义乘感兴趣的虫友请戳这里http://www.paper.edu.cn/html/releasepaper/2015/07/86/。

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0/0的意义是所有数的集合

5楼2015-08-15 16:54:50

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6楼: Originally posted by hank612 at 2015-08-15 23:04:38
如果\lim_{x\rightarrow \infty} x f(x)=+\infty 且x^{1-f(x)}\rightarrow +\infty，不妨设\lim\inf_{x\rightarrow \infty} f(x)=0+, 注意到\lim_{t\rightarrow 0+} t^t=1, 知道
(f(x)x^{1-f(x)})^{\frac{1}{1-f( ...

谢谢，有一定启发性，至少那个右推左变换是我没想到的。但右推左的结论过于武断，至少有三个环节经不起细推(手机没法输入公式，白天向你具体指明)。另，文采不错。

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7楼2015-08-16 00:32:48

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7楼: Originally posted by tigou at 2015-08-16 00:32:48
谢谢，有一定启发性，至少那个右推左变换是我没想到的。但右推左的结论过于武断，至少有三个环节经不起细推(手机没法输入公式，白天向你具体指明)。另，文采不错。
...

楼主眼光也太毒辣了，想蒙混过关都不成。趁着源文件还在，改动一下。瀑布汗

设 $\lim_{x\rightarrow \infty} x f(x)=+\infty$ 且 $x^{1-f(x)}\rightarrow +\infty$ . 如果f(x)有正的下界，那么明显 $f(x)x^{1-f(x)}$ 肯定是无穷大。当 $\lim\inf_{x\rightarrow \infty} f(x)=0+$ 时, 注意到 $\lim_{t\rightarrow 0+} t^t=1$ , 知道
$f(x)x^{1-f(x)}=(xf(x))^{1-f(x)}\cdot f(x)^{f(x)}\rightarrow +\infty$

反之，由 $f(x)>0$ 知道 $x f(x)>f(x)x^{1-f(x)}$ 是无穷大. 若 $f(x)< 1$ , 自然 $x^{1-f(x)}>f(x)x^{1-f(x)}$ 是无穷大. 若 $f(x)> 1$ ,又会有 $x^{1-f(x)}=f(x)x^{1-f(x)}-\frac{f(x)-1}{x^{f(x)-1}} > f(x)x^{1-f(x)}-1$ 还是无穷大. 这里，利用了当a>0时， $a<e^a$ , 更别提x 远大于 e了。

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8楼2015-08-16 01:24:54

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找到一个反例：f(x)=[x]/x，其中[x]为取整函数。但主要问题并未完结。

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2楼2015-08-15 10:35:35

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设
$a\in\mathbb{R},~f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}.$
如果
$\exists b\geq a\forall x\geq b[f(x)>0]$
就称f是正无穷大领域上的正函数。

一楼命题的右边补充一个条件：1-f(x)是正无穷大邻域上的正函数。注意，这个条件比f(x)的上极限（x趋于正无穷大时）小于1宽松，允许f(x)的上极限等于1。

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3楼2015-08-15 10:48:12

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这两天有点走火入魔了，自己把自己绕晕了。2楼的反例错误。1楼命题仍然是既无法证明也无法推翻。

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4楼2015-08-15 12:27:46

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8楼: Originally posted by hank612 at 2015-08-16 01:24:54
楼主眼光也太毒辣了，想蒙混过关都不成。趁着源文件还在，改动一下。瀑布汗

设\lim_{x\rightarrow \infty} x f(x)=+\infty 且x^{1-f(x)}\rightarrow +\infty. 如果f(x)有正的下界，那么明显 f(x)x^{1-f(x)}肯定 ...

这里只讨论右推左的情况（尽管你左推右过程中的错误更大）。你的推导过程关键是利用了
$(1)~~\lim_{t\to 0+}t^t=1$
但你好像忘记了
$(2)~~\liminf_{x\to+\infty}f(x)=0$
与
$(3)~~\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$
是有区别的。因此，不能通过（1）（2）得出结论
$(4)~~\lim_{x\to+\infty}f(x)=1$
更不能通过（2）得到
$(5)~~\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1-f(x)}=1$
如果缺少(4)(5). 就不能得到
$(6)~~\lim_{x\to+\infty}f(x)^{\frac{f(x)}{1-f(x)}=1$
即不能得到
$(7)~~\lim_{x\to+\infty}x(x)*f(x)^{\frac{f(x)}{1-f(x)}=1$
可见，你的推导过程缺失了大量重要的环节，不能被承认为一个严谨的证明。特别需要注意的是，不能把下极限等于0与极限等于0混为一谈。

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9楼2015-08-16 08:42:43

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9楼: Originally posted by tigou at 2015-08-16 08:42:43
这里只讨论右推左的情况（尽管你左推右过程中的错误更大）。你的推导过程关键是利用了
(1)~~\lim_{t\to 0+}t^t=1
但你好像忘记了
(2)~~\liminf_{x\to+\infty}f(x)=0
与
(3)~~\lim_{x\to+\infty}f(x)=0
是有区 ...

更正
$(4)~~\lim_{x\to+\infty}f(x)^{f(x)}=1$

$(6)~~\lim_{x\to+\infty}f(x)^{\frac{f(x)}{1-f(x)}}=1$

$(6)~~\lim_{x\to+\infty}xf(x)*f(x)^{\frac{f(x)}{1-f(x)}}=1$

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10楼2015-08-16 08:53:00

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