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tigou

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[求助] 已经被掘地三尺的极限分析为什么还存在模糊地带已有1人参与

从魏尔斯特拉斯建立严格的epsilon-delta极限定义算起，实函数的极限被数学界的各种大牛小牛玩弄了150年以上。为什么还存在模糊地带，存在既证明不了也推翻不了的问题？比如下面这个问题：

$\lim_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=+\infty\Leftrightarrow\lim_{x\to+\infty}f(x)x=+\infty\land\lim_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=+\infty$

当然，也可能是我水平太臭并且孤陋寡闻，所以解决不了。说不定有虫子能找到反例或者给出证明呢。

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0/0的意义是所有数的集合

1楼 2015-08-14 16:09:13

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tigou

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引用回帖:

8楼: Originally posted by hank612 at 2015-08-16 01:24:54
楼主眼光也太毒辣了，想蒙混过关都不成。趁着源文件还在，改动一下。瀑布汗

设\lim_{x\rightarrow \infty} x f(x)=+\infty 且x^{1-f(x)}\rightarrow +\infty. 如果f(x)有正的下界，那么明显 f(x)x^{1-f(x)}肯定 ...

这里只讨论右推左的情况（尽管你左推右过程中的错误更大）。你的推导过程关键是利用了
$(1)~~\lim_{t\to 0+}t^t=1$
但你好像忘记了
$(2)~~\liminf_{x\to+\infty}f(x)=0$
与
$(3)~~\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$
是有区别的。因此，不能通过（1）（2）得出结论
$(4)~~\lim_{x\to+\infty}f(x)=1$
更不能通过（2）得到
$(5)~~\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1-f(x)}=1$
如果缺少(4)(5). 就不能得到
$(6)~~\lim_{x\to+\infty}f(x)^{\frac{f(x)}{1-f(x)}=1$
即不能得到
$(7)~~\lim_{x\to+\infty}x(x)*f(x)^{\frac{f(x)}{1-f(x)}=1$
可见，你的推导过程缺失了大量重要的环节，不能被承认为一个严谨的证明。特别需要注意的是，不能把下极限等于0与极限等于0混为一谈。

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0/0的意义是所有数的集合

9楼2015-08-16 08:42:43

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tigou

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找到一个反例：f(x)=[x]/x，其中[x]为取整函数。但主要问题并未完结。

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0/0的意义是所有数的集合

2楼2015-08-15 10:35:35

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设
$a\in\mathbb{R},~f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}.$
如果
$\exists b\geq a\forall x\geq b[f(x)>0]$
就称f是正无穷大领域上的正函数。

一楼命题的右边补充一个条件：1-f(x)是正无穷大邻域上的正函数。注意，这个条件比f(x)的上极限（x趋于正无穷大时）小于1宽松，允许f(x)的上极限等于1。

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0/0的意义是所有数的集合

3楼2015-08-15 10:48:12

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这两天有点走火入魔了，自己把自己绕晕了。2楼的反例错误。1楼命题仍然是既无法证明也无法推翻。

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4楼2015-08-15 12:27:46

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