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tigou

木虫 (正式写手)

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[求助] 已经被掘地三尺的极限分析为什么还存在模糊地带已有1人参与

从魏尔斯特拉斯建立严格的epsilon-delta极限定义算起，实函数的极限被数学界的各种大牛小牛玩弄了150年以上。为什么还存在模糊地带，存在既证明不了也推翻不了的问题？比如下面这个问题：

$\lim_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=+\infty\Leftrightarrow\lim_{x\to+\infty}f(x)x=+\infty\land\lim_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=+\infty$

当然，也可能是我水平太臭并且孤陋寡闻，所以解决不了。说不定有虫子能找到反例或者给出证明呢。

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0/0的意义是所有数的集合

1楼2015-08-14 16:09:13

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hank612

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引用回帖:

7楼: Originally posted by tigou at 2015-08-16 00:32:48
谢谢，有一定启发性，至少那个右推左变换是我没想到的。但右推左的结论过于武断，至少有三个环节经不起细推(手机没法输入公式，白天向你具体指明)。另，文采不错。
...

楼主眼光也太毒辣了，想蒙混过关都不成。趁着源文件还在，改动一下。瀑布汗

设 $\lim_{x\rightarrow \infty} x f(x)=+\infty$ 且 $x^{1-f(x)}\rightarrow +\infty$ . 如果f(x)有正的下界，那么明显 $f(x)x^{1-f(x)}$ 肯定是无穷大。当 $\lim\inf_{x\rightarrow \infty} f(x)=0+$ 时, 注意到 $\lim_{t\rightarrow 0+} t^t=1$ , 知道
$f(x)x^{1-f(x)}=(xf(x))^{1-f(x)}\cdot f(x)^{f(x)}\rightarrow +\infty$

反之，由 $f(x)>0$ 知道 $x f(x)>f(x)x^{1-f(x)}$ 是无穷大. 若 $f(x)< 1$ , 自然 $x^{1-f(x)}>f(x)x^{1-f(x)}$ 是无穷大. 若 $f(x)> 1$ ,又会有 $x^{1-f(x)}=f(x)x^{1-f(x)}-\frac{f(x)-1}{x^{f(x)-1}} > f(x)x^{1-f(x)}-1$ 还是无穷大. 这里，利用了当a>0时， $a<e^a$ , 更别提x 远大于 e了。

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We_must_know. We_will_know.

8楼2015-08-16 01:24:54

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tigou

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找到一个反例：f(x)=[x]/x，其中[x]为取整函数。但主要问题并未完结。

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0/0的意义是所有数的集合

2楼2015-08-15 10:35:35

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tigou

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设
$a\in\mathbb{R},~f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}.$
如果
$\exists b\geq a\forall x\geq b[f(x)>0]$
就称f是正无穷大领域上的正函数。

一楼命题的右边补充一个条件：1-f(x)是正无穷大邻域上的正函数。注意，这个条件比f(x)的上极限（x趋于正无穷大时）小于1宽松，允许f(x)的上极限等于1。

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0/0的意义是所有数的集合

3楼2015-08-15 10:48:12

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tigou

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这两天有点走火入魔了，自己把自己绕晕了。2楼的反例错误。1楼命题仍然是既无法证明也无法推翻。

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0/0的意义是所有数的集合

4楼2015-08-15 12:27:46

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