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tigou

木虫 (正式写手)

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[求助] 已经被掘地三尺的极限分析为什么还存在模糊地带已有1人参与

从魏尔斯特拉斯建立严格的epsilon-delta极限定义算起，实函数的极限被数学界的各种大牛小牛玩弄了150年以上。为什么还存在模糊地带，存在既证明不了也推翻不了的问题？比如下面这个问题：

$\lim_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=+\infty\Leftrightarrow\lim_{x\to+\infty}f(x)x=+\infty\land\lim_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=+\infty$

当然，也可能是我水平太臭并且孤陋寡闻，所以解决不了。说不定有虫子能找到反例或者给出证明呢。

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0/0的意义是所有数的集合

1楼 2015-08-14 16:09:13

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拉马之仆

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★ ★ ★ ★ ★
tigou(feixiaolin代发): 金币+5 2015-08-17 19:27:03

引用回帖:

5楼: Originally posted by tigou at 2015-08-15 16:54:50
尽管无人参与讨论，我仍然想说：1楼命题（不妨称之为无穷大极限猜想）和我3月份就提出的二级函数猜想共同表明，到目前为止，人类对实数的认识还存在大片盲区，这种认识盲区在自然数那里就已经存在了，只不过以往人们 ...

好吧，楼主的命题其实非常简单，基本上是微积分入门式的习题。好在我本来也只是个刚入门的菜鸟，不怕别人为我的智商捉急。希望我的证明能让楼主满意。(顺便练习一下LaTeX语法)
$(1^{\circ})\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=+\infty\Rightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x=+\infty\wedge\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=+\infty$
我们先来证明当 $x\to +\infty$ 时， $f(x)$ 是有界的。用反证法。
假设当 $x\to +\infty$ 时， $f(x)$ 无界，
因 $\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}>0$ ,
而 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\ast\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=+\infty>0$ ,
故 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)>0$ ,
由假设知必有 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ 。
由于当 $x\to +\infty$ 时， $x^{f(x)-1}$ 为比 $f(x)-1$ 高阶的无穷大量(这一点楼主一定能理解吧？)，
故有 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)-1}{x^{f(x)-1}}+\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{f(x)-1}}=0+0=0$ ，
但这与假设相矛盾，这就证明了当 $x\to +\infty$ 时， $f(x)$ 有界。
再来证明 $0<\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)<1$ 。
因 $\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}>0$ ,
且 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\ast\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=+\infty>0$ ,
故 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)>0$ ,
假设 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1$ ，则
$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=1\neq +\infty$ ，
这与前提相矛盾，故 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\neq 1$ 。
又设 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)>1$ ，
则 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}<\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{f(x)-1}}=0$ ,
这也与前提相矛盾。故必有 $0<\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)<1$ ，
于是显然有(楼主自己证明)：
$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x=+\infty$ 且 $\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=+\infty$
$(2^{\circ})\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x=+\infty\wedge\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=+\infty\Rightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=+\infty$
由 $\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=+\infty$ 易得 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)<1$ ，
由 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x=+\infty$ 易得 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)>1$ ，
即 $0<\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)<1$ ，
于是显然有(楼主自己证明)：
$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=+\infty$ 。

另外，关于无穷大的性质，无非是阶的比较的问题，罗比塔法则就是研究这一问题的非常成熟的一种方法和技巧。个人斗胆认为，笼罩在经典分析上的两朵乌云之下，并没有隐藏什么数学乌托邦。

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13楼2015-08-16 10:43:03

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tigou

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找到一个反例：f(x)=[x]/x，其中[x]为取整函数。但主要问题并未完结。

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2楼2015-08-15 10:35:35

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设
$a\in\mathbb{R},~f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}.$
如果
$\exists b\geq a\forall x\geq b[f(x)>0]$
就称f是正无穷大领域上的正函数。

一楼命题的右边补充一个条件：1-f(x)是正无穷大邻域上的正函数。注意，这个条件比f(x)的上极限（x趋于正无穷大时）小于1宽松，允许f(x)的上极限等于1。

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3楼2015-08-15 10:48:12

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这两天有点走火入魔了，自己把自己绕晕了。2楼的反例错误。1楼命题仍然是既无法证明也无法推翻。

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4楼2015-08-15 12:27:46

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