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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 已经被掘地三尺的极限分析为什么还存在模糊地带
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tigou

木虫 (正式写手)

[求助] 已经被掘地三尺的极限分析为什么还存在模糊地带 已有1人参与

从魏尔斯特拉斯建立严格的epsilon-delta极限定义算起，实函数的极限被数学界的各种大牛小牛玩弄了150年以上。为什么还存在模糊地带，存在既证明不了也推翻不了的问题？比如下面这个问题：



当然，也可能是我水平太臭并且孤陋寡闻，所以解决不了。说不定有虫子能找到反例或者给出证明呢。
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0/0的意义是所有数的集合
1楼 2015-08-14 16:09:13
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by tigou at 2015-08-16 08:42:43
这里只讨论右推左的情况（尽管你左推右过程中的错误更大）。你的推导过程关键是利用了
(1)~~\lim_{t\to 0+}t^t=1
但你好像忘记了
(2)~~\liminf_{x\to+\infty}f(x)=0
与
(3)~~\lim_{x\to+\infty}f(x)=0
是有区 ...

我们又在重复Newton, Leibniz 关于极限有用但不严密的理论， 还是回到Weierstrass, Cauchy 语言的严密路子上吧。

我想麻烦楼主证明两个引理先。 设a>0, x>e.
引理1：

引理2：

然后利用这些不等式，采用 语言， 看看能否证明楼主的猜想。 辛苦了。
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We_must_know. We_will_know.
18楼2015-08-17 01:45:33
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tigou

木虫 (正式写手)
找到一个反例：f(x)=[x]/x，其中[x]为取整函数。但主要问题并未完结。
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0/0的意义是所有数的集合
2楼2015-08-15 10:35:35
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tigou

木虫 (正式写手)
设

如果

就称f是正无穷大领域上的正函数。

一楼命题的右边补充一个条件：1-f(x)是正无穷大邻域上的正函数。注意，这个条件比f(x)的上极限（x趋于正无穷大时）小于1宽松，允许f(x)的上极限等于1。
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0/0的意义是所有数的集合
3楼2015-08-15 10:48:12
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tigou

木虫 (正式写手)
这两天有点走火入魔了，自己把自己绕晕了。2楼的反例错误。1楼命题仍然是既无法证明也无法推翻。
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0/0的意义是所有数的集合
4楼2015-08-15 12:27:46
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