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tigou

木虫 (正式写手)

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[求助] 已经被掘地三尺的极限分析为什么还存在模糊地带已有1人参与

从魏尔斯特拉斯建立严格的epsilon-delta极限定义算起，实函数的极限被数学界的各种大牛小牛玩弄了150年以上。为什么还存在模糊地带，存在既证明不了也推翻不了的问题？比如下面这个问题：

$\lim_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=+\infty\Leftrightarrow\lim_{x\to+\infty}f(x)x=+\infty\land\lim_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=+\infty$

当然，也可能是我水平太臭并且孤陋寡闻，所以解决不了。说不定有虫子能找到反例或者给出证明呢。

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0/0的意义是所有数的集合

1楼 2015-08-14 16:09:13

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拉马之仆

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引用回帖:

13楼: Originally posted by 拉马之仆 at 2015-08-16 10:43:03
好吧，楼主的命题其实非常简单，基本上是微积分入门式的习题。好在我本来也只是个刚入门的菜鸟，不怕别人为我的智商捉急。希望我的证明能让楼主满意。(顺便练习一下LaTeX语法)
(1^{\circ})\lim\limits_{x\to+\inf ...

$(2^{\circ})\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x=+\infty\wedge\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=+\infty\Rightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=+\infty$
由 $\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=+\infty$ 易得 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)<1$ ，
由 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x=+\infty$ 易得 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)>0$ (此处原有笔误)，
即 $0<\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)<1$ ，
于是显然有(楼主自己证明)：
$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=+\infty$ 。

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14楼2015-08-16 10:52:27

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tigou

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找到一个反例：f(x)=[x]/x，其中[x]为取整函数。但主要问题并未完结。

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0/0的意义是所有数的集合

2楼2015-08-15 10:35:35

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tigou

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设
$a\in\mathbb{R},~f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}.$
如果
$\exists b\geq a\forall x\geq b[f(x)>0]$
就称f是正无穷大领域上的正函数。

一楼命题的右边补充一个条件：1-f(x)是正无穷大邻域上的正函数。注意，这个条件比f(x)的上极限（x趋于正无穷大时）小于1宽松，允许f(x)的上极限等于1。

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0/0的意义是所有数的集合

3楼2015-08-15 10:48:12

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