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tigou

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[求助] 已经被掘地三尺的极限分析为什么还存在模糊地带已有1人参与

从魏尔斯特拉斯建立严格的epsilon-delta极限定义算起，实函数的极限被数学界的各种大牛小牛玩弄了150年以上。为什么还存在模糊地带，存在既证明不了也推翻不了的问题？比如下面这个问题：

$\lim_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=+\infty\Leftrightarrow\lim_{x\to+\infty}f(x)x=+\infty\land\lim_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=+\infty$

当然，也可能是我水平太臭并且孤陋寡闻，所以解决不了。说不定有虫子能找到反例或者给出证明呢。

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0/0的意义是所有数的集合

1楼 2015-08-14 16:09:13

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tigou

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引用回帖:

18楼: Originally posted by hank612 at 2015-08-17 01:45:33
我们又在重复Newton, Leibniz 关于极限有用但不严密的理论，还是回到Weierstrass, Cauchy \epsilon-\delta语言的严密路子上吧。

我想麻烦楼主证明两个引理先。设a>0, x>e.
引理1： ax^{1-a}>\min ...

这个思路不可行。因为我曾经想利用夹逼准则，进行过类似的尝试，发现行不通。麻烦的关键是，对于形如：
$yx^{1-y}$
这样的函数而言，y是常数和不是常数时的性质大不一样。如果您不信，可以先假设两个“引理”成立，依然证明不了1楼命题。

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0/0的意义是所有数的集合

19楼2015-08-17 08:39:17

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tigou

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找到一个反例：f(x)=[x]/x，其中[x]为取整函数。但主要问题并未完结。

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0/0的意义是所有数的集合

2楼2015-08-15 10:35:35

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设
$a\in\mathbb{R},~f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}.$
如果
$\exists b\geq a\forall x\geq b[f(x)>0]$
就称f是正无穷大领域上的正函数。

一楼命题的右边补充一个条件：1-f(x)是正无穷大邻域上的正函数。注意，这个条件比f(x)的上极限（x趋于正无穷大时）小于1宽松，允许f(x)的上极限等于1。

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0/0的意义是所有数的集合

3楼2015-08-15 10:48:12

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