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tigou

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[求助] 求满足给定条件的函数已有2人参与

设 $R^+$ 为正实数， $a\in R^+$ ，实一元函数 $f:R^+\to R^+$ 满足下列三个条件：
1） $f(1)=a$ ；
2） $\forall x\in R^+, ~f(x+1)=a^{f(x)}$ ；
3） $f(x)$ 在 $R^+$ 上光滑。
这样的函数是否存在？如存在，能否给出一个确定式（给定变量后经该式可计算出确切的函数值）。

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0/0的意义是所有数的集合

1楼 2015-07-03 12:49:54

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【答案】应助回帖

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感谢参与，应助指数 +1
tigou(feixiaolin代发): 金币+45 2015-07-06 15:29:04

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9楼2015-07-06 00:16:17

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15楼: Originally posted by tigou at 2015-07-06 13:44:49
Γ函数与广义乘有血缘关系，故可用，三角函数与广义乘联系不大。我先结贴。如对广义乘有兴趣，可继续联系。非常感谢。也一并感谢hank612。...

不知金币该怎样退还给楼主？

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16楼2015-07-06 20:47:59

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5楼: Originally posted by hank612 at 2015-07-04 11:01:08
突然发现上面构造的函数不在x=1处连续，太惭愧了，居然还在言辞凿凿地讨论光滑性。

修正如下：

取某个上的光滑函数g(x),满足g(0)=1, g(1)=a, g(x)>0. g在x=0, x=1处所有阶的导数都是0. 现在定义上的函数 ...

在某点的所有阶导数都是0的话，等价于在该点的某领域上函数值为常数。但该函数不可能处处都是常数，一个函数在某点附近是常数，在其他地方不为常数，有可能光滑么？这个思路明显不可取。

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0/0的意义是所有数的集合

6楼2015-07-04 11:19:12

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广义乘的定义：

广义乘.png

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0/0的意义是所有数的集合

12楼2015-07-06 12:07:27

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这函数如果存在，应该与 $\Gamma$ 函数高度神似。不过更感觉那样的函数不存在。

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2楼2015-07-03 23:17:47

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

引用回帖:

2楼: Originally posted by tigou at 2015-07-03 23:17:47
这函数如果存在，应该与\Gamma函数高度神似。不过更感觉那样的函数不存在。

这类函数存在是不成问题的，只是显示表达式会难办些。思路大致是这样的：

从函数定义来看，只要f在(0,1)内光滑定义，并且在x=1处满足光滑条件，就可以按条件(2)延拓到整个正实轴上去，同时仍然保持光滑性。

由于f在x=1处左导数各阶依次为 $f^{(k)}(1)$ , 右导数由递推公式归结于零点的导数的性质，即 $e^{f(0)}$ 乘以关于一个 $\ln(a),f^{(i)}(0) (1\leq i \leq k)$ 的多项式。虽然这是要求满足无穷多个等式，但存在解是不成问题的。

最简单来说，比如取某个光滑函数使得在[0,t]上恒为 a/2，[1-t,t]上恒为a, t是个很小的正数，就可以保证f在x=1处的光滑性了（其实就是各阶导数全为0）。

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3楼2015-07-04 02:49:05

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3楼: Originally posted by hank612 at 2015-07-04 02:49:05
这类函数存在是不成问题的，只是显示表达式会难办些。思路大致是这样的：

从函数定义来看，只要f在(0,1)内光滑定义，并且在x=1处满足光滑条件，就可以按条件(2)延拓到整个正实轴上去，同时仍然保持光滑性。
...

谢谢。您能否给出函数存在的严格证明。

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4楼2015-07-04 09:14:14

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4楼: Originally posted by tigou at 2015-07-04 09:14:14
谢谢。您能否给出函数存在的严格证明。...

突然发现上面构造的函数不在x=1处连续，太惭愧了，居然还在言辞凿凿地讨论光滑性。

修正如下：

取某个[0，1]上的光滑函数g(x),满足g(0)=1, g(1)=a, g(x)>0. g在x=0, x=1处所有阶的导数都是0. 现在定义 [0,2]上的函数f，满足： f(x)=g(x), if 0<=x<1; f(x)=a^g(x-1), if 1<=x<2.

可以看出， f在[0，2]上连续，在[0，2]除去x=1上光滑。如果楼主可以证明f在x=1处的右导数各阶都是0，那f就在x=1处也连续了。努力哦

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5楼2015-07-04 11:01:08

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tigou(feixiaolin代发): 金币+5 2015-07-06 15:29:16
feixiaolin: 金币+10 2015-07-06 15:29:23

引用回帖:

6楼: Originally posted by tigou at 2015-07-04 11:19:12
在某点的所有阶导数都是0的话，等价于在该点的某领域上函数值为常数。但该函数不可能处处都是常数，一个函数在某点附近是常数，在其他地方不为常数，有可能光滑么？这个思路明显不可取。...

楼主要的是光滑函数，又不是解析函数。譬如 $f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$ 补充定义f(0)=0，就是光滑函数且在零点处所有阶导数都是0。

参考 https://en.wikipedia.org/wiki/Non-analytic_smooth_function

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7楼2015-07-04 12:00:35

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7楼: Originally posted by hank612 at 2015-07-04 12:00:35
楼主要的是光滑函数，又不是解析函数。譬如f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}补充定义f(0)=0，就是光滑函数且在零点处所有阶导数都是0。

参考 https://en.wikipedia.org/wiki/Non-analytic_smooth_function...

谢谢，我再琢磨下。您也帮忙琢磨下。如您率先找到满足三条件的函数，我们可以合作写篇论文，为实分析注入新的血液。

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8楼2015-07-04 12:20:36

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9楼: Originally posted by 拉马之仆 at 2015-07-06 00:16:17
希望对楼主有帮助：
http://image.keyan.cc/data/weixin/b6/65/df8d3644233d199b665109cd583fef77.jpg

本解法为原创，但是不能确定是否为首创。

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10楼2015-07-06 00:30:19

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