[求助] 无穷正项级数求和

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1楼2015-06-13 09:36:23

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feixiaolin

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cos(-a*sqrt(n)+cn)=exp[i((-a*sqrt(n)+cn)]+exp[i((a*sqrt(n)-cn)]
与指数函数相乘，化成复数形式，舍弃虚部，直接对实部累加。

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2楼2015-06-14 07:42:54

hank612

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feixiaolin: 金币+3 2015-06-14 20:16:29

楼主的题目在我看来是超级难的，你确定这题目有closed form的解么？

个人建议求数值解，m直接提出求和号之外，然后利用 $e^{-a\sqrt{n}}$ 来界住n*cos(***), 可以估计出余项大小（就知道精确度了）

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We_must_know. We_will_know.

4楼2015-06-14 11:59:49

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蜗牛_2013

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2楼: Originally posted by feixiaolin at 2015-06-14 07:42:54
cos(-a*sqrt(n)+cn)=exp+exp
与指数函数相乘，化成复数形式，舍弃虚部，直接对实部累加。

cos(-a*sqrt(n)+cn)=0.5*exp[i((-a*sqrt(n)+cn)]+exp[i((a*sqrt(n)-cn)]吧？然后，与指数函数相乘后得到两项指数函数，每一个的指数都是复数，如果将这两个指数函数再化为复数形式，那么实部就是变化前的原式了，也就是回到了原点。所以是不是我弄错你的意思了，麻烦你能不能说得再详细一点，谢谢！

3楼2015-06-14 09:12:45

蜗牛_2013

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4楼: Originally posted by hank612 at 2015-06-14 11:59:49
楼主的题目在我看来是超级难的，你确定这题目有closed form的解么？

个人建议求数值解，m直接提出求和号之外，然后利用e^{-a\sqrt{n}}来界住n*cos(***), 可以估计出余项大小（就知道精确度了）

因为这个还有后续工作需要用到这个计算结果，如果是数值解的话，后面就没办法进行下去了

5楼2015-06-14 15:52:25

feixiaolin

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5楼: Originally posted by 蜗牛_2013 at 2015-06-14 15:52:25
因为这个还有后续工作需要用到这个计算结果，如果是数值解的话，后面就没办法进行下去了...

因为m可提出来，故取不同的a, c组合，数值积分，最后做函数拟合f=f(a, c)即可。

6楼2015-06-14 20:15:43

蜗牛_2013

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6楼: Originally posted by feixiaolin at 2015-06-14 20:15:43
因为m可提出来，故取不同的a, c组合，数值积分，最后做函数拟合f=f(a, c)即可。...

貌似还是不行，因为我最后要求一个原函数的关于a（在a=0时）的导数，而a接近无穷小时，要用e^{-a*sqrt{n}}来界住n*cos(***)，n在理论上就要取无穷大

7楼2015-06-15 10:11:41

feixiaolin

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7楼: Originally posted by 蜗牛_2013 at 2015-06-15 10:11:41
貌似还是不行，因为我最后要求一个原函数的关于a（在a=0时）的导数，而a接近无穷小时，要用e^{-a*sqrt{n}}来界住n*cos(***)，n在理论上就要取无穷大...

a接近无穷小时，要用e^{-a*sqrt{n}}接近1，不需要n取无穷大。

8楼2015-06-15 10:45:36

蜗牛_2013

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8楼: Originally posted by feixiaolin at 2015-06-15 10:45:36
a接近无穷小时，要用e^{-a*sqrt{n}}接近1，不需要n取无穷大。...

这个函数本身如果对a求导，在a=0处的取值从物理常识（原式关于一个物理模型）上应该是趋近于无穷大的，这跟你说的用e^{-a*sqrt{n}}接近1的做法符合，但是如果e^{-a*sqrt{n}}接近1，那这个级数本身就不收敛了。。。

9楼2015-06-19 08:41:22

蜗牛_2013

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8楼: Originally posted by feixiaolin at 2015-06-15 10:45:36
a接近无穷小时，要用e^{-a*sqrt{n}}接近1，不需要n取无穷大。...

我把我那个级数重新整理了一下，然后用matlab求了一下和，结果如下：>> syms y k n t
>> s=1/k*sin(n*pi*1e-9)*exp((-y*sqrt(5.1*n*k*1e-9/k))*cos((5.1*n*k*1e-9/k)+2*pi*n*t*1e-9/k);

>> s=1/k*sin(n*pi*1e-9)*exp(-y*sqrt(5.1*n*k*1e-9/k))*cos((5.1*n*k*1e-9/k)+2*pi*n*t*1e-9/k);
>> b1=symsum(s,1,inf)

b1 =

piecewise([exp((51/10000000000*n)^(1/2)) <> 1 and 0 < Re(sign(n)^(1/2)), -(cos((51*n)/10000000000 + (pi*n*t)/(500000000*k))*sin((pi*n)/1000000000))/(k*exp(((51*n)/10000000000)^(1/2))*(1/exp(((51*n)/10000000000)^(1/2)) - 1))], [exp((51/10000000000*n)^(1/2)) <> 1 and Re(sign(n)^(1/2)) < 0, -(cos((51*n)/10000000000 + (pi*n*t)/(500000000*k))*sin((pi*n)/1000000000)*(1/(exp(((51*n)/10000000000)^(1/2))*(1/exp(((51*n)/10000000000)^(1/2)) - 1)) - limit(exp(-y*(51/10000000000*n)^(1/2))/(exp(-(51/10000000000*n)^(1/2)) - 1), y = Inf)))/k])

唉。。。

10楼2015-06-20 09:34:02