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tigou木虫 (正式写手)
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悬 赏一千元人民币征集证明或反例 已有22人参与
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称实数集上的四则运算及指数运算、对数运算为二级运算，由若干常数和一个未知数经有限次二级运算合成的能用一个公式表示（排除分段函数）的函数，称作二级函数。 例如，f(x)=(e^x+x^2)/(lnx-3x)是二级函数，sinx不是二级函数。 猜想：设实二级函数f(x)在点集E上有定义，E0是f在E上的零点集，E1=E-E0，则sup E不能既是E0的聚点又是E1的聚点。 感觉这个猜想有可能成为世界级难题。为此，我愿拿出一千元人民币征集该猜想的证明，找到反例也算证明成功，悬赏期限为我的有生之年。 |
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12楼2015-05-29 21:52:42
5楼2015-05-29 13:53:31
tigou
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要解释清楚二级函数的本质，需要一篇长长的论问，年内我会尝试在中国科技论文在线发表，欢迎你去查看。简单地说：从加法到乘法，是二元运算的一次跃升；乘幂运算（有的文献也叫指数运算）本质上是乘法的推广。这种推广还可继续，即定义出更高级的类乘法运算。故加法可视为0级乘，乘法为1级乘，乘幂为2级乘。可把加法及其逆运算称为0级运算，乘法及其逆运算称为1级运算，乘幂及其逆运算称为2级运算。为简化起见，也可笼统地说012级运算为广义的二级运算。在广义的二级运算中，每种运算都与从加法到乘法的跃升有关，三角函数则没有这层关系。 你大可不必纠结二级运算的定义，只要明白二级函数的含义就好了。 至于非平凡零点，主要是考虑到有人会提出一些奇怪的函数，例如ln(-1)^x，就存在无限多的不连续的零点，但这些零点一眼就看得出来。如果你真想研究二级函数猜想，建议从1楼给出的命题开始，那个表述是我反复思考的结果，没有漏洞。 |
9楼2015-05-29 20:12:51
hank612
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你这问题自然是很难的，至少我一点头绪都没有。我最困惑的一点是：实二级函数与复二级函数的分界点在哪里？ 1。（9楼）楼主举的非显然零点 例子错的离谱， 2。(4楼) 你的命题 等价于 实二级函数零点最多只有有限个。 因为 无限个零点，要么f(x)的零点有聚点， 要么f(1/x)的零点有聚点。 而E就取以聚点为右端点的任意一个闭区间即有矛盾。 3.（24楼）Sard定理牵涉到零测集， 而你只关心零点个数，二者风马牛不相及。 4.（8楼）利用 5.（27楼）级数展开没什么用， 关键是对应的函数是否是（实！！！）二级函数。大家可以比较Sin(x)与 Sech(x) 的级数展开式。更有名的例子是 6.不难想象，如果 某个实二级函数有无穷个零点， 那么它的任意阶导数也有无穷个零点。所以，周期函数一定不能是实二级函数。 7.你的二级函数在定义域内可以取复变量z得到一个局部解析函数， 可惜基本上无法解析开拓到全平面成为亚纯函数， 因此亚纯函数的Weierstrass零点展开式 用不上。 恩，该休息了。 楼主加油。 |
30楼2015-05-30 13:23:49
tigou
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2楼2015-05-29 07:45:59
tigou
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6楼2015-05-29 15:36:12
31楼2015-05-30 13:25:08
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40楼2015-07-08 19:10:08
tigou
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谢谢。参考商鞅变革的行为，我愿意兑现承诺  。这并不影响您我之间的交流，却可以显示我的诚意。为严格起见，本楼对乘幂和对数运算进行限定，进而重新表述二级函数猜想。称实数集上的加法和减法为0级运算，乘法和除法（除数不为零）为1级运算，乘幂（底数大于0）和对数（底数大于0且不等于1）运算为2级运算。由若干常数和一个未知数经有限次0、1、2级运算合成的单式函数，称为2级函数。参考《自然数集上的广义乘和鲤鱼乘》http://www.paper.edu.cn/html/releasepaper/2015/07/86/ 2级函数猜想的三个等价表述： (1)设实2级函数f(x)在点集E上有定义，且E上存在非零点，则E上的零点集为有限集。 (2)设实2级函数f(x)在点集E上有定义，则E上的零点集和非零点集不能同时是无限集。 (3)设实2级函数f(x)在区间(a,b)上有定义，则存在a<c<b使f(x)在[c,b)上单调。 |
44楼2015-07-09 07:23:58
3楼2015-05-29 11:59:50
tigou
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